0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|18|20|22|

7

KAPITULLI I PARË ELEMENTE TË ALGJEBRËS SË PËRGJITHSHME 1. KONCEPTET DHE SIMBOLET E LOGJIKËS MATEMATIKE Logjika matematike, degë e re dhe e rëndësishme e matematikës bashkëkohore, lindi kah mesi i shekullit XIX^[1]. Ajo pati ndikim të veçantë në zhvillimin e një sërë lëmenjve të rinj të matematikës bashkëkohore dhe njëherit kontribuoi në përsosjen dhe begatimin e gjuhës simbolike ^[2] dhe në zgjerimin e zbatimeve të matematikës në tërësi. 1.1. GJYKIMET DHE LLOJET E GJYKLMEVE Në logjikën matematike gjykimi (dëftimi, thënia) merret për koncept themelor i cili në aspektin e saktësisë (vërtetësisë) i nënshtrohet ligjit të përjashtimit të së tretës dhe ka vetëm njërën prej dy vlerave: është i saktë (i vërtetë) ose është jo i saktë (jo i vërtetë). Kështu, p. sh.:"Katrori është paralelogram"; $\vdots$ janë gjykime të sakta, ndërkaq:"Diagonalja e katrorit është më e vogël se brinja e tij"; $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {2}}}$ janë gjykime jo të sakta. Fjalët: i saktë dhe jo i saktë quhen vlerat e saktësisë së gjykimit dhe shënohen me simbolet $\scriptstyle \top$ ^[3] (lexo: te) dhe $\scriptstyle {\bot }$ (lexo: jo te). Gjykimet zakonisht i emërtojmë me germa të vogla të alfabetit (p. sh. $p, q, r, ...)$ dhe ato trajtohen si variabla gjykimesh, kurse vlerat e tyre i shënojmë me: $v(p), v(q), v(r), ...$ të cilat janë konstante. Mirëpo, për arsye të thjeshtimit shpesh në vend të $v(p), v(q), v (r), ...$ shkruhet vetëm $p, q, r, ...$ . Përkufizimi deskriptiv e joformal i gjykimit shprehet kështu: ↑ Themeluesi i logjikës matematike konsiderohet matematikani i shquar anglet George Boole (1815 - 1864). ↑ Në matematikë konstantet, variablat (ndryshoret), relacionet, dhe veprimet (operacionet)e ndryshme shënohen me shenja, shifra dhe germa të ndryshme dhe quhen simbole. Simbolet e konstanteve dhe variablave si dhe simbolet që merren nga ato me anë të veprimeve të përkufizuara quhen shprehje matematike. Çdo lidhje e dy shprehjeve matematike të llojit të njëjtë me relacione quhet formulë matematike. Përkufizimin e relacionit binar dhe të veprimit binar e japim në pikën 3, përkatësisht 5. ↑ Shenja $\scriptstyle \top$ i përgjan germës së parë të fjalës në gjuhën angleze true - i (e) vërtetë, i (e) i saktë.

< -1

faqe
- 0 -

1 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< -1

faqe
- 0 -

1 >

8

Fjalia e cila e ka njërën nga vlerat e saktësisë - e saktë ose jo e saktë - quhet gjykim. Pra ajo që e dallon cilindo gjykim $p$ është vetia se ai e ka njërën nga vlerat i saktë ose jo i saktë . Kështu themi : $\scriptstyle {=}$ etj . Mirëpo, në matematikë ekzistojnë edhe gjykime të atilla të cilat, ndonëse shprehin një pohim të caktuar, prapëseprapë ato, në bazë të variablave që e përmbajnë, nuk mund të konstatohet se a janë të sakta, apo jo të sakta . Gjykime të atilla quhen gjykime të hapura ose funksione gjykimesh. Funksione gjykimesh që i përmbajnë variablat $x; x, y; x, y, z; etj.$ i shënojmë me $F 1 (Y), F 2 (x, y), F 3 (x, y, z) etj.$ Nga këto që thamë del se funksione gjykimesh janë edhe formulat : $\scriptstyle {=}$ , ku secila prej tyre shndërrohet në gjykim, kur simbolet e variablave përkatëse $x, y, n, p, q, F 1 F 2$ zëvendësohen me objekte konkrete, me vlera të caktuara . Kjo metodë e shndërrimit të gjykimeve të hapura në gjykime quhet metoda e zëvendësimit (metoda e substitucionit) . Kuptohet se, në përgjithësi, formulat matematike me variabla janë funksione gjykimesh, të cilat me metodën e zëvendësimit mund të shndërrohen ne gjykime. Gjykimi quhet i thjeshtë, nëse asnjë pjesë e tij nuk paraget gjykim më vete, e gjykimi që nuk është i thjeshtë quhet gjykim i përbërë. P. sh . $\scriptstyle \in$ është gjykim i thjeshtë, ndërkaq „Nëse trekëndëshi $ABC$ është dybrinjënjëshëm, këndet në bazën e tij janë të barabarta" - është gjykim i përbërë dhe përbëhet prej këtyre dy gjykimeve të thjeshta : „Trekëndëshi $ABC$ është dybrinjënjëshëm" dhe „Këndet në bazën e tij (e trekëndëshit $ABC$ ) janë të barabarta". 1 .2. VEPRIMET ME GJYKIME Gjykimet e përbëra rëndom formohen prej gjykimeve të thjeshta me ndihmen e fjalëve: „jo", „dhe", „ose", „nëse . . ., atëhere . . .", „atëhere e vetëm atëherë" . Këto fjalë - shprehje quhen lidhëza logjike . Duke përdorur lidhëzat logjike në gjykime kryhen operacione apo veprime themelore logjike. Kuptohet se secili gjykim i ri që formohet prej gjykimeve të dhëna me anën e veprimeve themelore logjike e ka vlerën e vet të saktësisë. Saktësia e gjykimit të përftuar varet vetëm prej saktësisë së gjykimeve që atë e formojnë . Pikërisht kjo varësi shgyrtohet në algjebrën e gjykimeve, meqë asaj nuk i interesojnë përmbajtjet e gjykimeve të formuara, por vetëm vlera e saktësisë së tyre. 1.2.1. NEGACIONI (MOHIMI) I GJYKIMIT Veprimi më i thjeshtë logjik që përdoret në gjykime është negacioni (mohimi), të cilit, në gjuhën e zakonshme, i përgjigjet fjalëza „jo" (ose shprehja „nuk është" ).

< -1

faqe
- 0 -

1 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< -1

faqe
- 0 -

1 >

9

P ë r k u f i z i m i 1.2.1.1. - Negacioni i gjykimit $p$ quhet gjykimi

\scriptstyle {\lnot }

$p$ (lexo : jo p ose nuk është p) i cili është i saktë, respektivisht jo i saktë kur gjykimi $p$ është jo i saktë, respektivisht i saktë.

Simboli

\scriptstyle {\lnot }

është shenja e negacionit. Sipas përkufizimit del se tabela e saktësisë së negacionit duket kështu:

$v(p)$		$\scriptstyle {\lnot }$

$\scriptstyle \top$		$\scriptstyle {\bot }$
$\scriptstyle {\bot }$		$\scriptstyle \top$

S h e m b u l l i 1 - Le të jenë dhënë gjykimet : $\scriptstyle \in$ .

Negacionet e tyre janë gjykimet : $\scriptstyle {\lnot }$

q

: 35 $\not \vdots$ 3, $\scriptstyle {\lnot }$ r :5 < 7, $\scriptstyle {\lnot }$ s : {1, 2, 3, 4} $\scriptstyle \neq$ {2, 4, 1, 3} , e vlerat e saktësisë së tyre:

$v (p)$

$\scriptstyle {\lnot }$

$v (q)$

$\scriptstyle {\lnot }$

$v (r)$

$\scriptstyle {\lnot }$

$v(s)$

$\scriptstyle {\lnot }$

\scriptstyle \top

\scriptstyle {\bot }

\scriptstyle {\bot }

\scriptstyle \top

\scriptstyle {\bot }

\scriptstyle {\bot }

\scriptstyle \top

\scriptstyle {\bot }

Negacioni ( $\scriptstyle {\lnot }$ ) është një veprim unar në bashkësinë e gjykimeve, meqë me atë çdo gjykimi $p$ , me vlerë të caktuar të saktësisë, i shogërohet gjykimi i përbërë $\scriptstyle {\lnot }$ $p$ me vlerë të kundërt të saktësisë . Në pajtim me këtë del se negacioni i gjykimit $\scriptstyle {\lnot }$ $p$ , d.m.th. $\scriptstyle {\lnot }$ ( $\scriptstyle {\lnot }$ $p$ ) është $p$ , andaj $\scriptstyle {\lnot }$ . Pra, gjykimet i ( $\scriptstyle {\lnot }$ $p$ ), $p$ kanë një vlerë të njëjtë të saktësisë. Gjykime të këtilla quhen ekuivalente^[1] dhe shënohen me simbolin e ekuivalencës $\scriptstyle \Leftrightarrow$ : $\scriptstyle {\lnot }$ ( $\scriptstyle {\lnot }$ $p$ ) $\scriptstyle \Leftrightarrow$ $p$ {1} Kjo formulë shpreh të ashtuquajturën ligj i negacionit të dyfishtë. 1 .2 .2. KONJUKSIONI I GJYKIMEVE Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy (ose më shumë) gjykimeve çfarëdo me ndihmën e lidhëzëz „ $dhe$ ", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet konjuksion^[2]. P ë r k u f i z i m i 1.2.2.1. - Konjuksioni i dy gjykimeve $p, q$ quhet gjykimi $\scriptstyle \land$ (lexo : p dhe q),i cili është i saktë kur janë të sakta të dy gjykimet $p, q$ . Simboli $\scriptstyle \land$ është shenja e konjuksionit. Tabela e saktësisë së konjuksionit duket kështu : $v(p)$ $v(q)$ $\scriptstyle \land$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ ↑ Për ekuivalencës e gjykimeve shih p. 1 .2.5 . ↑ Nga fjala latine | conjuctio=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] - lidhëz.