Hipi Zhdripi i Matematikës/1109

në ekuacionin e tretë të sistemit (32a) në kofaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, ku pas reduktimit merret: $(a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33})x_{3}=b_{1}A_{13}+b_{2}A_{23}+b_{3}A_{33}\Rightarrow Dx_{3}=D_{3},$ sepse koeficientet e $x_{1}$ dhe $x_{2}$ janë të barabarta me zero. Në bazë të relacionit të fundit përfundojmë: (a) Nëse $D_{3}\neq 0$ , sistemi (32) është i pamundshëm; (b) Nëse $D_{3}=0\,$ , sistemi (32) është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në dy ekuacione me tri të panjohura: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\end{matrix}}$ Në këtë sistem, kur $x_{3}$ e trajtojmë si parametër, kemi: ${\begin{matrix}x_{1}={{\begin{vmatrix}b_{1}-a_{13}x_{3}&a_{12}\\b_{2}-a_{23}x_{3}&a_{22}\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}&,&x_{2}={{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}-a_{13}x_{3}\\a_{21}&b_{2}-a_{23}x_{3}\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}\end{matrix}}$ 3°. Kur $D=0,A_{ik}=0\ (\forall i,k=1,2,3)$ dhe $\exists a_{ik}\neq 0$ , ekuivalent me: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}-b_{1}\\a_{21}&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}-b_{2}\end{vmatrix}}=0\\{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}-b_{1}\\a_{31}&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}-b_{3}\end{vmatrix}}=0\end{matrix}}$ (...32b) Ekuivalenca e këtyre dy sistemeve vërtetohet sikurse në rastin e mëparshëm. Dy ekuacionet e fundit të sistemit (32b) mund të shprehen në këtë mënyrë ${\begin{matrix}(\!a_{11}a_{21}\!-\!a_{11}a_{21}\!)x_{1}\!+\!(a_{11}a_{22}\!-\!a_{12}a_{21}\!)x_{2}\!+\!(a_{11}a_{23}\!-\!a_{13}a_{21}\!)x_{3}\!=\!a_{11}b_{2}\!-\!a_{21}b_{1}\\(\!a_{11}a_{31}\!-\!a_{11}a_{31}\!)x_{1}\!+\!(a_{11}a_{32}\!-\!a_{12}a_{31}\!)x_{2}\!+\!(a_{11}a_{33}\!-\!a_{13}a_{31}\!)x_{3}\!=\!a_{11}b_{3}\!-\!a_{31}b_{1}\end{matrix}}$ prej nga, duke marrë parasysh kushtet, del: ${\begin{matrix}{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}}=0&&{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{31}&b_{3}\end{vmatrix}}=0\end{matrix}}$ D.m.th.: (a) Nëse të paktën njëri prej përcaktorëve ${\begin{matrix}{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}}&ose&{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{31}&b_{3}\end{vmatrix}}\end{matrix}}$ nuk është i barabartë me zero, sistemi (32) është i pamundshëm;