Hipi Zhdripi i Matematikës/1112

5.6.1. ALGORITMI I GAUSSIT        Një metodë praktike për zgjidhjen e sistemit të $n$ ekuacioneve Iineare me $n$ të panjohura është ajo e Gaussit që quhet algoritmi i Gaussit. Të shohim tani këtë algoritëm.        Le të marrim sistemin: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\\\end{matrix}}$ dhe le të supozojmë se $a_{11}\neq 0$. Ekuacionin e parë të këtij sistemi e shumëzojmë me radhë me numrat: ${\frac {a_{21}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{31}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{41}}{a_{11}}},\;\dots ,\;{\frac {a_{n1}}{a_{11}}}$ dhe barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të dytë, ekuacionit të tretë, . . . , ekuacionit të fundit. Kështu merret sistemi: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\&&a_{22}^{1}x_{2}&+&a_{23}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{2n}^{1}x_{n}&=&b_{2}^{1}\\&&a_{32}^{1}x_{2}&+&a_{33}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{3n}^{1}x_{n}&=&b_{3}^{1}\\&&&&&&&&\vdots &\\&&a_{n1}^{1}x_{2}&+&a_{n3}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{nn}^{1}x_{n}&=&b_{n}^{1}\\\end{matrix}}$        Në këtë sistem e panjohura $x_{1}$ është eliminuar nga të gjitha ekuacionet, përveç ekuacionit të parë. Përsërisim këtë veprim në sistemin (a) ku ekuacionin e dytë të tij e shumëzojmë me radhë me numrat: ${\frac {a_{32}^{1}}{a_{22}^{1}}},\;{\frac {a_{42}^{1}}{a_{22}^{1}}},\;{\frac {a_{52}^{1}}{a_{22}^{1}}},\;\dots ,\;{\frac {a_{n2}^{1}}{a_{22}^{1}}},\;ku\ a_{22}^{1}\neq 0$ dhe pastaj barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të tretë, ekuacionit të katërt, . . . , ekuacionit të fundit. Me këtë rast sistemi do ta merrë këtë trajtë: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\&&a_{22}^{1}x_{2}&+&a_{23}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{2n}^{l}x_{n}&=&b_{2}^{l}\\&&&&a_{33}^{2}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{3n}^{2}x_{n}&=&b_{3}^{2}\\&&&&&&&&\vdots &\\&&&&a_{n2}^{2}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{nn}^{2}x_{n}&=b_{n}^{2}\\\end{matrix}}$        Me përsëritjen e këtij algoritmi $n-1$ herë do të përftohet sistemi: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\cdots \;+&+a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\&&a_{22}^{1}x_{2}&+&a_{23}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&+a_{2n}^{1}x_{n}&=&b_{l}^{1}\\&&&&a_{33}^{3}x_{3}&+&\cdots \;+&+a_{3n}^{3}x_{n}&=&b_{3}^{2}\\&&&&&&&\vdots &\vdots &\\&&&&&&&a_{nn}^{n-1}x_{n}&=&b_{n}^{n-1}\\\end{matrix}}$(...34a)

< 1111 faqe - 1112 - 1113 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1111 faqe - 1112 - 1113 >