Hipi Zhdripi i Matematikës/1039

6. KUPTIMI I GRUPIT DHE I NËNGRUPIT         Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :        P ë r k u f i z i m i  6.1. - Semigrupi (A, $\circ$ ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a $\scriptstyle \in$ A ekziston elementi invers a-1 $\scriptstyle \in$ A.         Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët A lidhur me veprimin binar $\circ$ është grup, nëse plotësohen këto kushte :         (a1 ) Bashkësia A është e mbyllur lidhur me veprimin binar $\circ$ , pra: ( $\scriptstyle {\forall }$ a, b $\scriptstyle \in$ A)( $\scriptstyle {\exists !}$ c $\scriptstyle \in$ A) a $\circ$ b $\scriptstyle {=}$ c ;         (a2 ) Veprimi binar $\circ$ është asociativ, pra : ( $\scriptstyle {\forall }$ a, b, c $\scriptstyle \in$ A)(a $\circ$ b) $\circ$ c $\scriptstyle {=}$ a $\circ$ (b $\circ$ c) ;         (a3 ) Në bashkësinë A ekziston elementi neutral për veprimin binar $\circ$ , pra : ( $\scriptstyle {\exists !}$ e $\scriptstyle \in$ A)( $\scriptstyle {\forall }$ a $\scriptstyle \in$ A)a $\circ$ e $\scriptstyle {=}$ e $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ a ; dhe         (a4 ) Për secilin element a $\scriptstyle \in$ A ekziston elementi invers a-1 $\scriptstyle \in$ A ashtu që : a $\circ$ a1 $\scriptstyle {=}$ a-1 $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ e .         Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.         Nëse veprimi binar $\circ$ është komutativ, (A, $\circ$ ) quhet grup komutativ ose abelian. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, (A, +) , respektivisht (A, .) quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.         P.sh. grupe aditive janë : ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , + ), ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ , + ), ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ \ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , + ) , ndërkaq grupe multiplikative janë : ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ \{0}, .), ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ \{0}, .), (A, .) ku A $\scriptstyle {=}$ { -1, 1, - i, i } . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.        S h e m b u l l i  19. -  - Të tregohet se bashkësia A $\scriptstyle {=}$ {0, 1, 2, 3, 4 } në lidhje me mbledhjen sipas modulit 5 është grup aditiv (A, + ) , kurse bashkësia B $\scriptstyle {=}$ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } në lidhje me shumëzimin, sipas modulit 7 , është grup multiplikativ (B, -7 ) .        Z g j i d h j e : : Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas modulit 5 , respektivisht 7 duket kështu: +5   0   1   2   3   4 +7   1   2   3   4   5   6 0   0   1   2   3   4 1   1   2   3   4   5   6 1   1   2   3   4   0 2   2   3   4   5   6   1 2   2   3   4   0   1 3   3   4   5   6   1   2 3   3   4   0   1   2 4   4   5   6   1   2   3 4   4   0   1   2   3 5   5   6   1   2   3   4   6   6   1   2   3   4   5

< 1038 faqe - 1039 - 1040 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1038 faqe - 1039 - 1040 >