Hipi Zhdripi i Matematikës/1201

qëllim e zëvendësojmë shprehjen për vektorin ${\vec {r}}$ prej ekuacionit të parë në të dytin $({\vec {r}}_{1}+\lambda {\vec {a}})\cdot {\vec {a}}_{1}=b$ prej nga marrim $\lambda {\frac {{\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {a}}_{1}-b}{{\vec {a}}.{\vec {a}}_{1}}}$ . Pra, vektori i pozitës së pikëprerjes së drejtëzës dhe planit është ${\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\frac {{\vec {r}}_{1}{\vec {a}}_{1}-b}{{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}_{1}}}{\vec {a}}$ . (...43) Kësaj formule vektoriale u korrespondojnë këto tri formula skalare: $x=x_{1}-{\frac {Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}-b}{Am+Bn+Cp}}m,\ y=y_{1}-{\frac {Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}-b}{Am+Bn+Cp}}n$ , $z=-z_{1}{\frac {Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}-b}{Am+Bn+Cp}}p$ . (...43a) Nga këto formula shihet se pikëprerja e drejtëzës dhe e planit ekziston vetëm nëse ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}_{1}\neq 0$ - nëse drejtëza nuk është paralele me planin. Kur janë të sakta formulat ${\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {a}}_{1}=b\land {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}_{1}=0$ (...44) thuhet se drejtëza $\mathbf {d}$ shtrihet në planin $\alpha$ , sepse $\mathbf {d}$ e ka një pikë të përbashkët me planin $\alpha$ dhe është paralele me atë plan. Konditat (44) në trajtën skalare shprehen me këto formula: $Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}=b\land Am+Bn+Cp=0$ . (...44a) S h e m b u l l i 22. - Të caktohet pikëprerja e drejtëzës $\mathbf {d}$ me planin $\alpha$ , nëse ekuacionet e tyre janë: $\mathbf {d} :{\frac {x+2}{3}}={\frac {y-2}{-1}}={\frac {z+1}{2}},\ \alpha :2x+3y+3z-8=0$ . Z g j i d h j e : Aplikojmë formulat (43a) dhe marrim $x=-2+3=1,\ y=2-1=1,\ z=-1+2=1$ . Pra, pikëprerja e drejtëzës $\mathbf {d}$ dhe planit $\alpha$ është $P(1,1,1)$ . 3.5.2. DISA SHEMBUJ LIDHUR ME DREJTËZËN DHE PLANIN 1. Të gjendet ekuacioni i normales lëshuar prej pikës $M_{1}(1,-2,5)$ në planin $\alpha :\ 2x+7y-z+1=0$ . Z g j i d h j e : Vektori ${\vec {a}}(2,7,-1)$ normal në planin $\alpha$ është vektori drejtues i normales së kërkuar, prandaj ekuacioni vektorial i saj është $({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1})\times {\vec {a}}=0,\ {\text{ku}}\ {\vec {r}}_{1}={\vec {i}}-2{\vec {j}}+5{\vec {k}}$