Hipi Zhdripi i Matematikës/1196

Të caktohet trajta vektoriale e ekuacionit të kësaj drejtëze.

Z g j i d h j e : Nga të dhënat e detyrës konstatojmë se

{\vec{a}}_{1} = 2 \vec{i} - \vec{j} + 2 \vec{k}, {\vec{a}}_{2} = 6 \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k}, b_{1} = - 15, b_{2} = 1

,

ndërkaq, njehsojmë:

\vec{a} = {\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & - 1 & 2 \\ 6 & 2 & - 3 \end{matrix} | = - \vec{i} + 18 \vec{j} + 10 \vec{k}

dhe

\vec{b} = b_{2} {\vec{a}}_{1} - b_{1} \vec{a} 2 = - 88 \vec{i} + 29 \vec{j} - 43 \vec{k}

.

Tani e shfrytëzojmë formulën (31) dhe gjejmë se ekuacioni i kërkuar është:

\vec{r} \times (- \vec{i} + 18 \vec{j} + 10 \vec{k}) = - 88 \vec{i} + 29 \vec{j} - 43 \vec{k}

.
3.3. EKUACIONET E DREJTËZËS NËPËR DY PIKA

Le të marrim drejtëzën

𝐝

e cila kalon nëpër dy pika të dhëna

M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})

dhe

M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})

. Vektori

\vec{M_{1} M_{2}} (= {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1})

këtu është

Fig. 6.15.

paralel me drejtuesin e drejtëzës

𝐝

(fig. 6.15), prandaj vlen relacioni

\vec{a} = λ \vec{M_{1} M_{2}} ose \vec{a} = λ ({\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1})

,

ku

λ

është një skalar.

Në qoftë se në (26), (29). (27) dhe (28) zëvendësojmë

\vec{a} = λ ({\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1})

marrim këto trajta të ekuacioneve të drejtëzës e cila kalon nëpër dy pika:

1° Trajtën vektoriale

\vec{r} = {\vec{r}}_{1} + λ ({\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1})

, (...32)

përkatësisht

(\vec{r} - {\vec{r}}_{1}) \times ({\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1}) = 0

(...33)

2° Formën parametrike:

x = x_{1} + λ (x_{2} - x_{1}), y = y_{1} + λ (y_{2} - y_{1}), z = z_{1} + λ (z_{2} - z_{1})

; (...35)

dhe

3° Formën kanonike:

\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}

. (...35)

Më poshtë, në disa shembuj, po ilustrojmë zbatimin e këtyre formulave.

S h e m b u l l i 17. - Të shkruhet trajta vektoriale e ekuacionit të drejtëzës e cila kalon nëpër pikat

M_{1} (- 2, 0, 3)

dhe

M_{2} (3, 2, 1)

.

< 1195

faqe
- 1196 -

1197 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1195

faqe
- 1196 -

1197 >