Hipi Zhdripi i Matematikës/1268

Duhet të vërtetojmë se $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$. Për këtë qëllim marrim relacionin $\underset{x\to a}{lim}[(f(x)-f(a)]=\underset{x\to a}{lim}[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)]$ dhe në te zëvendësojmë $x=a+\mathrm{\Delta }x(\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{\Delta }x\to 0\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}x\to a)$ $\begin{array}{cc}\underset{x\to a}{lim}[f(x)-f(a)]& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{x}\cdot \mathrm{\Delta }x\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }x\\ & =f^{\prime }(a)\cdot 0=0.\end{array}$ Pra, përftuam se: $\underset{x\to a}{lim}[f(x)-f(a)]=0\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$, me çka vërtetohet pohimi i teoremës.         Nga kjo teoremë mund të kunkludohet se vazhdueshmëria e funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$ është kusht i nevojshëm për derivueshmërinë e tij në këtë pikë, por ky kusht nuk është i mjaftueshëm. Kështu janë të njohura tri raste karakteristike, kur funksioni është i vazhdueshëm në një pikë, por nuk është i derivueshëm në te. Këto pika karakteristike të grafikut të funksionit quhen: pika këndore, pika e kthimit me tangjente vertikale dhe pika e infleksionit me tangjenten vertikale të funksionit.         Pika $M_1(x_1,y_1)$ e grafikut të funksionit $y=f(x)$ quhet pikë këndore e tij (fig. 7.20.), nëse në këtë pikë ekziston derivati i majtë dhe derivati i djathtë, por ato kanë vlera të ndryshme, d.m.th. $f{\text{'}}_{-}(x_1)=\mathrm{t}\mathrm{g}{\alpha }_1,f{\text{'}}_{+}(x_1)=\mathrm{t}\mathrm{g}{\alpha }_2,\mathrm{k}\mathrm{u}f{\text{'}}_{-}(x_1)\ne f{\text{'}}_{+}(x_1).$ Pra, në pikën këndore të funksionit në grafikun e tij mund të tërhiqen dy tangjente. Fig. 7.20.         Pika $M_2(x_2,y_2)$ e grafikut të funksionit $y=f(x)$ quhet pikë e kthimit me tangjente vertikale (fig. 7.20.), nëse në këtë pikë derivatet e njëanshme janë të pafundme dhe me parashenja të kundërta. Në një pikë të këtillë të grafikut të funksionit ekzistajnë dy tangjente vertikale të përputhura.         Pika $M_3(x_3,y_3)$ e grafikut të funksionit $y=f(x)$ quhet pikë e infleksionit me tangjenten vertikale (fig. 7.20.), nëse në këtë pikë derivati i funksionit është i pafundëm, d.m.th. $f^{\prime }(x_3)=+\mathrm{\infty }$ (ose $-\mathrm{\infty }$). Në një pikë të këtillë në grafikun e funksionit ekziston vetëm një tangjente vertikale.

< 1267 faqe - 1268 - 1269 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1267 faqe - 1268 - 1269 >