Hipi Zhdripi i Matematikës/1268

Duhet të vërtetojmë se

\lim _{x\to a}f(x)=f(a)

. Për këtë qëllim marrim relacionin

\lim _{x\to a}\left[(f(x)-f(a)\right]=\lim _{x\to a}\left[{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\cdot (x-a)\right]

dhe në te zëvendësojmë

x=a+\Delta x(\mathrm {ku} \ \Delta x\rightarrow 0\ \mathrm {kur} \ x\rightarrow a)

{\begin{aligned}\lim _{x\to a}\left[f(x)-f(a)\right]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{x}}\cdot \Delta x\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\Delta x\\&=f'(a)\cdot 0=0.\end{aligned}}

Pra, përftuam se:

\lim _{x\to a}[f(x)-f(a)]=0\ \mathrm {ose} \ \lim _{x\to a}f(x)=f(a)

,

me çka vërtetohet pohimi i teoremës.

Nga kjo teoremë mund të kunkludohet se vazhdueshmëria e funksionit

y=f(x)

në pikën

a

është kusht i nevojshëm për derivueshmërinë e tij në këtë pikë, por ky kusht nuk është i mjaftueshëm. Kështu janë të njohura tri raste karakteristike, kur funksioni është i vazhdueshëm në një pikë, por nuk është i derivueshëm në te. Këto pika karakteristike të grafikut të funksionit quhen: pika këndore, pika e kthimit me tangjente vertikale dhe pika e infleksionit me tangjenten vertikale të funksionit.

Pika

M_{1}(x_{1},y_{1})

e grafikut të funksionit

y=f(x)

quhet pikë këndore e tij (fig. 7.20.), nëse në këtë pikë ekziston derivati i majtë dhe derivati i djathtë, por ato kanë vlera të ndryshme, d.m.th.

f'_{-}(x_{1})=\mathrm {tg} \ \alpha _{1},\quad f'_{+}(x_{1})=\mathrm {tg} \ \alpha _{2},\quad \mathrm {ku} \ f'_{-}(x_{1})\neq f'_{+}(x_{1}).

Pra, në pikën këndore të funksionit në grafikun e tij mund të tërhiqen dy tangjente.

Fig. 7.20.

Pika

M_{2}(x_{2},y_{2})

e grafikut të funksionit

y=f(x)

quhet pikë e kthimit me tangjente vertikale (fig. 7.20.), nëse në këtë pikë derivatet e njëanshme janë të pafundme dhe me parashenja të kundërta. Në një pikë të këtillë të grafikut të funksionit ekzistajnë dy tangjente vertikale të përputhura.

Pika