3. RELACIONET
- Në matematikë shpesh hasim në formula që shfaqin raporte, lidhshmëri, marrëdhënie ndërmjet elementeve të një bashkësie ose të dy e më shumë bashkësive të ndryshme. Formula të atilla quhen relacione. Në përgjithësi relacioni ndërmjet dy elementeve a, b rëndom shënohet me (a, b)
ρ ose me aρb (lexo : a është në relacion ρ me b). Kuptohet, për relacione të posaçme përdoren edhe simbole të posaçme. Për shembull:
- - Në bashkësitë numerike për barazinë përdoret simboli
(a b), për është më i madh simboli > (a > b), për është më i vogël simboli < (a < b), për plotpjesëtueshmërinë simboli (a b), për thjeshtësinë relative të dy numrave të plotë simboli (a, b) 1 etj.;
- - Në bashkësitë e objekteve gjeometrike për paralelshmërinë përdoret simboli
(p q), për normalësinë reciproke simboli (p q), për kongruencën (përputhshmërinë) simboli (F1 F2), për ngjashmërinë simboli ~ (F1 ~ F2) etj. ;
- - Në bashkësitë e çfarëdoshme për përkatshmërinë përdoret simboli
(a A) , për inkluzionet simbolet , , , etj.
3.1. RELACIONET BINARE DHE VETITË E TYRE
- Kur me relacionin ρ shfaqen raporte ndërmjet dy nga dy elementeve të të njëjtës bashkësi, relacioni i tillë quhet relacion binar.
- P ë r k u f i z i m i 3.1.1. - Në bashkësinë jo të zbrazët A është përkufizuar relacioni binar ρ në qoftë se për çdo dy elemente a, b
A është përcaktuar njëra nga vetitë : (1) aρb ose (2) a b (lexo : a nuk është në relacion ρ me b) .
- Meqë relacioni binar ρ në bashkësinë A e lidh dy nga dy elemente të A-së, andaj ai përkufizohet edhe si nënbashkësi e katrorit kartezian A2 , pra :
- Relacion binar ρ quhet çdo nënbashkësi e A2 (ρ
A2).
- Vetitë më të rëndësishme të relacioneve binare janë : refleksiviteti, simetria dhe transitiviteti .
- P ë r k u f i z i m i 3.1.2. - Relacioni binar ρ në A është relacion refleksiv, nëse secili element i A-së është në relacionin ρ me vetvetën, pra :
( a A) aρa. (...21)
- Relacioni binar ρ në A është relacion jo refleksiv, nëse
( a A) a a. (...22)
- Për shembull :
- - Relacioni i plotpjesëtueshmërisë (
) në bashkësinë është relacion refleksiv, sepse ( n ) n n ;
- - Relacioni i barazisë (
) në bashkësinë është relacion refleksiv, sepse ( x R) x x ;
- - Relacioni binar është normal (
) në bashkësinë e drejtëzave D është relacion jo refleksiv, sepse ( p D) p p.
|