Hipi Zhdripi i Matematikës/1024

3. RELACIONET Në matematikë shpesh hasim në formula që shfaqin raporte, lidhshmëri, marrëdhënie ndërmjet elementeve të një bashkësie ose të dy e më shumë bashkësive të ndryshme. Formula të atilla quhen relacione. Në përgjithësi relacioni ndërmjet dy elementeve $a, b$ rëndom shënohet me $\scriptstyle \in$ ose me $aρb$ (lexo : a është në relacion ρ me b). Kuptohet, për relacione të posaçme përdoren edhe simbole të posaçme. Për shembull: - Në bashkësitë numerike për barazinë përdoret simboli $\scriptstyle {=}$ për është më i madh simboli $> (a > b)$ , për është më i vogël simboli $< (a < b)$ , për plotpjesëtueshmërinë simboli $\vdots$ , për thjeshtësinë relative të dy numrave të plotë simboli $\scriptstyle {=}$ etj.; - Në bashkësitë e objekteve gjeometrike për paralelshmërinë përdoret simboli $\scriptstyle {\\|}$ , për normalësinë reciproke simboli $\scriptstyle {\bot }$ , për kongruencën (përputhshmërinë) simboli $\scriptstyle {\cong }$ , për ngjashmërinë simboli $~ (F 1 ~ F 2)$ etj. ; - Në bashkësitë e çfarëdoshme për përkatshmërinë përdoret simboli $\scriptstyle \in$ , për inkluzionet simbolet , , , etj. 3.1. RELACIONET BINARE DHE VETITË E TYRE Kur me relacionin ρ shfaqen raporte ndërmjet dy nga dy elementeve të të njëjtës bashkësi, relacioni i tillë quhet relacion binar. P ë r k u f i z i m i 3.1.1. - Në bashkësinë jo të zbrazët $A$ është përkufizuar relacioni binar $ρ$ në qoftë se për çdo dy elemente $\scriptstyle \in$ është përcaktuar njëra nga vetitë : (1) $aρb$ ose (2) $\scriptstyle {\bar {\rho }}$ (lexo : a nuk është në relacion ρ me b) . Meqë relacioni binar ρ në bashkësinë $A$ e lidh dy nga dy elemente të $A$ -së, andaj ai përkufizohet edhe si nënbashkësi e katrorit kartezian $A 2$ , pra : Relacion binar ρ quhet çdo nënbashkësi e $A 2 (ρ A 2)$ . Vetitë më të rëndësishme të relacioneve binare janë : refleksiviteti, simetria dhe transitiviteti . P ë r k u f i z i m i 3.1.2. - Relacioni binar $ρ$ në $A$ është relacion refleksiv, nëse secili element i $A$ -së është në relacionin $ρ$ me vetvetën, pra : $\scriptstyle {\forall }$ . (...21) Relacioni binar ρ në $A$ është relacion jo refleksiv, nëse $\scriptstyle {\exists }$ (...22) Për shembull : - Relacioni i plotpjesëtueshmërisë ( $\vdots$ ) në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {N}$ është relacion refleksiv, sepse $\scriptstyle {\forall }$ ; - Relacioni i barazisë ( $\scriptstyle {=}$ ) në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {R}$ është relacion refleksiv, sepse $\scriptstyle {\forall }$ ; - Relacioni binar është normal ( $\scriptstyle {\bot }$ ) në bashkësinë e drejtëzave $D$ është relacion jo refleksiv, sepse $\scriptstyle {\exists }$ .