Hipi Zhdripi i Matematikës/1198

vektorët ${\vec {a}}_{1}$ , ${\vec {a}}_{2}$ dhe ${\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}$ janë komplanarë - drejtëzat $\mathbf {d} _{1}$ , dhe $\mathbf {d} _{2}$ shtrihen në një plan. Pra, relacioni (37) ose (37a) paraqet konditën e komplanaritetit të dy drejtëzave. Drejtëzat komplanare $\mathbf {d} _{1}$ , $\mathbf {d} _{2}$ - priten, kur vektoret ${\vec {a}}_{1}$ dhe ${\vec {a}}_{2}$ janë jokolinearë, ndërsa - janë paralele ose përputhen, kur vektorët ${\vec {a}}_{1}$ dhe ${\vec {a}}_{2}$ janë kolinearë. :Pra, kondita e paralelshmërisë së dy drejtëzave shprehet me relacionin ${\vec {a}}_{1}=\lambda {\vec {a}}_{2}\ {\text{ose}}\ {\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}$ . (...38) 3.4.1. KËNDI NDËRMJET DY DREJTËZAVE Këndi ndërmjet drejtëzare: $\mathbf {d} _{1}:{\vec {r}}={\vec {r}}_{1}+\lambda _{1}{\vec {a}}_{1}\ {\text{dhe}}\ \mathbf {d} _{2}:{\vec {r}}={\vec {r}}_{2}+\lambda {\vec {a}}_{2}$ quhet këndi ndërmjet vektorëve të tyre drejtues ${\vec {a}}_{1}$ dhe ${\vec {a}}_{2}$ : $\sphericalangle (\mathbf {d} _{1},\mathbf {d} _{2})=\sphericalangle ({\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2})=\varphi$ , prandaj ky kënd përcaktohet me formulën $\cos \varphi ={\frac {{\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {a}}_{2}}{\|{\vec {a}}_{1}\|\|{\vec {a}}_{2}\|}}={\frac {m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}}{{\sqrt {m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}}}{\sqrt {m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}}}}$ . (...39) Kur drejtëzat $\mathbf {d} _{1}$ dhe $\mathbf {d} _{2}$ janë reciprokisht normale $(\mathbf {d} _{1}\perp \mathbf {d} _{2})$ , atëherë $\cos \varphi =0$ . Pra, kushti i ortogonalitetit reciprok të dy drejtëzave shprehet me relacionin ${\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {a}}_{2}=0\ {\text{ose}}\ m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}=0$ . (...38a) S h e m b u l l i 20. - Të njehsohet këndi ndërmjet drejtëzave $\mathbf {d} _{1}:{\begin{cases}x+y=4\\{\sqrt {2}}x-z=1\end{cases}}\ \!{\text{dhe}}\ \mathbf {d} _{2}:{\begin{cases}x-y=0\\{\sqrt {2}}y-z={\sqrt {2}}\end{cases}}$ Z g j i d h j e : Së pari gjejmë vektorët drejtues të këtyre drejtëzave: ${\begin{aligned}{\vec {a}}_{1}=&{\begin{array}{\|rrr\|}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\1&1&0\\2&0&-1\\\end{array}}={\vec {i}}+{\vec {j}}+2{\vec {k}}\\{\vec {a}}_{2}=&{\begin{array}{\|rrr\|}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\1&-1&0\\0&2&-1\\\end{array}}={\vec {i}}+{\vec {j}}+2{\vec {k}}\end{aligned}}$