Hipi Zhdripi i Matematikës/1283

3.7. DERIVIMI LOGARITMIK Në ca raste, për të thjeshtësuar veprimin e derivimit të funksionit, më parë atë e transformojmë. Kështu veprojmë kur njehsojmë derivatin e logaritmit të prodhimit, herësit, fuqisë dhe derivatin e logaritmit të rrënjës. Në disa raste tjera, para se të derivojmë funksionin, më parë atë e logaritmojmë. Kjo metodë e njehsimit të derivatit të funksionit quhet metodë e derivimit logaritmik. Kështu, me metodën e derivimit logaritmik përcaktohet derivati i funksionit të përbërë eksponencial $y=u^{v}$ ,ku $u=f(x)$ , $v=g(x)$ . T e o r e m a 3.7. 1. - Derivati i funksionit të përbërë eksponencial $y=u^{v}$ është i barabartë me $vu^{v-1}u'+u^{v}v'\ln u$ , pra: $(u^{v})'=vu^{v-1}u'+u^{v}v'\ln u$ . (61) V ë r t e t i m E logaritmojmë dhe pastaj e derivojmë barazinë $y=u^{v}$ : ${\frac {y'}{y}}=v{\frac {u'}{u}}+v'\ln u\quad \mathrm {ose} \quad y'=y\left(v{\frac {u'}{u}}+v'\ln u\right)$ ku, pas zëvendësimit $y=u^{v}$ , del: $y'=u^{v}\left(v{\frac {u'}{u}}+v'\ln u\right)=vu^{v-1}u'+u^{v}v'\ln u=u$ . Nga kjo formulë shihet se derivati i funksionit të përbërë eksponencial $y=u^{v}$ përbëhet prej dy mbledhësve, ku: - mbledhësi i parë $vu^{v-1}u'$ përftohet kur funksioni i dhënë derivohet sipas argumentit ndërmjetës $u$ , duke trajtuar $v$ si konstante (d.m.th. $u^{v}$ merret si funksion fuqi); kurse - mbledhësi i dytë $u^{v}v'\ln u$ përftohet kur funksioni i dhënë derivohet sipas argumentit ndërmjetës $v$ , duke trajtuar $u$ si konstante (d.m.th. $u^{v}$ merret si funksion eksponencial). S h e m b u l l i 44. - Derivati i funksionit $y=(\sin x)^{\cos x}$ është: ${\begin{aligned}y'&=\cos x(\sin x)^{\cos x-1}(\sin x)'+(\sin x)^{\cos x}(\cos x)'\ln \cos x=\\&=(\sin x)^{\cos x-1}\left[\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\ln \cos x\right]\end{aligned}}$ . S h e m b u l l i 45. - Derivati i funksionit $y=(\mathrm {tg} \ x)^{x^{2}}$ është: ${\begin{aligned}y'&=x^{2}(\mathrm {tg} \ x)^{{x^{2}}-1}(\mathrm {tg} \ x)'+(\mathrm {tg} \ x)^{x^{2}}(x^{2})'\ln \mathrm {tg} \ x=\cdots =\\&=x(\mathrm {tg} \ x)^{x^{2}}\left[{\frac {x}{\sin x\cos x}}+2\ln \mathrm {tg} \ x\right].\end{aligned}}$