Hipi Zhdripi i Matematikës/1283

3.7. DERIVIMI LOGARITMIK         Në ca raste, për të thjeshtësuar veprimin e derivimit të funksionit, më parë atë e transformojmë. Kështu veprojmë kur njehsojmë derivatin e logaritmit të prodhimit, herësit, fuqisë dhe derivatin e logaritmit të rrënjës. Në disa raste tjera, para se të derivojmë funksionin, më parë atë e logaritmojmë. Kjo metodë e njehsimit të derivatit të funksionit quhet metodë e derivimit logaritmik. Kështu, me metodën e derivimit logaritmik përcaktohet derivati i funksionit të përbërë eksponencial $y=u^v$,ku $u=f(x)$, $v=g(x)$.        T e o r e m a  3.7. 1. - Derivati i funksionit të përbërë eksponencial $y=u^v$ është i barabartë me $v{u}^{v-1}{u}^{\prime }+u^v{v}^{\prime }\ln u$, pra: $(u^v{)}^{\prime }=v{u}^{v-1}{u}^{\prime }+u^v{v}^{\prime }\ln u$. (61)        V ë r t e t i m E logaritmojmë dhe pastaj e derivojmë barazinë $y=u^v$: $\frac{y^{\prime }}{y}=v\frac{u^{\prime }}{u}+v^{\prime }\ln u\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{y}^{\prime }=y(v\frac{u^{\prime }}{u}+v^{\prime }\ln u)$ ku, pas zëvendësimit $y=u^v$, del: $y^{\prime }=u^v(v\frac{u^{\prime }}{u}+v^{\prime }\ln u)=v{u}^{v-1}{u}^{\prime }+u^v{v}^{\prime }\ln u=u$.         Nga kjo formulë shihet se derivati i funksionit të përbërë eksponencial $y=u^v$ përbëhet prej dy mbledhësve, ku:         - mbledhësi i parë $v{u}^{v-1}{u}^{\prime }$ përftohet kur funksioni i dhënë derivohet sipas argumentit ndërmjetës $u$, duke trajtuar $v$ si konstante (d.m.th. $u^v$ merret si funksion fuqi); kurse         - mbledhësi i dytë $u^v{v}^{\prime }\ln u$ përftohet kur funksioni i dhënë derivohet sipas argumentit ndërmjetës $v$, duke trajtuar $u$ si konstante (d.m.th. $u^v$ merret si funksion eksponencial).        S h e m b u l l i  44. -  Derivati i funksionit $y=(\sin x{)}^{\cos x}$ është: $\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\cos x(\sin x{)}^{\cos x-1}(\sin x{)}^{\prime }+(\sin x{)}^{\cos x}(\cos x{)}^{\prime }\ln \cos x=\\ & =(\sin x{)}^{\cos x-1}[{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\ln \cos x]\end{array}$.        S h e m b u l l i  45. -  Derivati i funksionit $y=(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{x^2}$ është: $\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =x^2(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{x^2-1}(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }+(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{x^2}(x^2{)}^{\prime }\ln \mathrm{t}\mathrm{g}x=\cdots =\\ & =x(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{x^2}[\frac{x}{\sin x\cos x}+2\ln \mathrm{t}\mathrm{g}x].\end{array}$

< 1282 faqe - 1283 - 1284 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1282 faqe - 1283 - 1284 >