Hipi Zhdripi i Matematikës/1164

Nga përkufizimi 4.4.1., sikurse edhe nga formula (30a), shihet qartas se prodhimi i dyfishtë vektorial i tre vektorëve nuk është as veprim komutativ, as asociativ. Me permutimin ciklik të faktorëve në prodhimin e dyfishtë vektorial të tre vektorëve përftohet: ${\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}-({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}$ ${\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}){\vec {a}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}$ . Me mbledhjen e këtyre tri barazirave marrim: ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}}){\vec {c}}+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=0$ , çka do të thotë se vektorët ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}}),\ \ {\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}}),\ \ {\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})$ janë linearisht të varur (komplanarë). S h e m b u l l i 23. - Të gjendet prodhimi i dyfishtë vektorial i vektorëve ${\vec {a}}(3,2,-1)$ , ${\vec {b}}(1,-1,-2)$ , ${\vec {c}}(4,-3,4)$ , Z g j i d h j e : Së pari njehsojmë ${\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=2,\ \ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=3$ pastaj aplikojmë formulën (30a): ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}=2{\vec {b}}-3{\vec {c}}=-10{\vec {i}}+7{\vec {j}}-16{\vec {k}}$ . S h e m b u l l i 24. - Të vërtetohet ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=0$ , kur ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\land {\vec {a}}\perp {\vec {c}}$ . V ë r t e t i m: Nga kushtet e problemit kemi: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ dhe ${\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=0$ . Kur këto të dhëna i zëvendësojmë në formulën (30a), vërtetohet saktësia e relacionit të paraqitur. 5. DETYRA PËR USHTRIME vazhdimi në kapitullin e gjashtë