Hipi Zhdripi i Matematikës/1284

3.8. INTERPRETIMI GJEOMETRIK I DERIVATIT TË RADIUS-VEKTORIT SIPAS KËNDIT POLAR DHE DERIVATI I VEKTORIT TË POZITËS SIPAS KOHËS         Le të jetë dhënë ekuacioni i lakores $l$ në sistemin koordinativ polar Fig. 7.21. $r=f(\theta )$. (62)         Formulat për transformimin e koordinatave polare në koordinata karteziane të cilësdo pikë $M(r,\theta )$ të kësaj lakoreje shprehen: $x=f(\theta )\cos \theta ,\ y=f(\theta )\sin \theta$. (62a) Këto formula njëherit paraqesin ekuacionet parametrike të lakores $l$, ku këndi polar $\theta$ është parametri (fig. 7.21.).         Shënojmë me $\alpha$ këndin që formon tangjenta $MT$ e lakores $l$ në pikën $M(r,\theta )$ me boshtin polar $Ox$. Koeficienti i drejtimit të kësaj tangjentje mund të shprehet në këtë mënyrë (shih form. (34)): $\mathrm {tg} \ \alpha ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}}={\frac {y'_{\theta }}{x'_{\theta }}}={\frac {r'\sin \theta +r\cos \theta }{r'\sin \theta -r\cos \theta }}.$ (34a)         Shënojmë me $\varphi$ këndin ndërmjet radius-vektorit $r$ dhe tangjentes $MT$, ku $\varphi =\alpha -\theta$, ndërsa $\mathrm {tg} \ \varphi ={\frac {\mathrm {tg} \ \alpha -\mathrm {tg} \ \theta }{1+\mathrm {tg} \ \alpha \mathrm {tg} \ \theta }}.$ Kur në këtë formulë e zëvendësojmë shprehjen (34a) për $\mathrm {tg} \ \alpha$, marrim: $\mathrm {tg} \ \varphi ={\frac {(r'\sin \theta +r\cos \theta )\cos \theta -(r'\cos \theta -r\sin \theta )\sin \theta }{(r'\cos \theta -r\sin \theta )\cos \theta +(r'\sin \theta +r\cos \theta )\sin \theta }}={\frac {r}{r'}}$, prej nga del: $r'_{\theta }=r\mathrm {ctg} \ \varphi$. (63)         Në bazë të kësaj formule mund të interpretojmë gjeometrikisht derivatin e radius-vektorit sipas këndit polar, pra:         Derivati i radius-vektorit sipas këndit polar është i barabartë me prodhimin e gjatësisë së atij radiusi me kotangensin e këndit ndërmjet tij dhe tangjentes së lakores në pikën e dhënë.         Në kap. V p. 3.2. me ${\vec {r}}(x,y,z)$ ose ${\vec {r}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}$ kemi shënuar vektorin e pozitës së pikës korente $M(x,y,z)$ lidhur me sistemin koordinativ kartezian

< 1283 faqe - 1284 - 1285 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1283 faqe - 1284 - 1285 >