Hipi Zhdripi i Matematikës/1188

ku $\lambda$ është një skalar që ndryshohet në intervalin $-\infty <\lambda <+\infty$ . Ky relacion paraqet ekuacionin e tufës së planeve. Varësisht prej vlerave që i japim skalarit $\lambda$ në ekuacionin (23), marrim ekuacionet e planeve përkatëse të tufës së planeve. Ekuacioni (23) i tufës së planeve shpesh shprehet në këtë trajtë ${\vec {r}}\cdot ({\vec {a}}_{1}+\lambda {\vec {a}}_{2})=b_{1}+b_{2}$ . (...23a) Trajta skalare e ekuacionit të tufës së planeve është $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0$ , (...24) ose $(A_{1}+\lambda A_{2})x+(B_{1}+\lambda B_{2})y+(C_{1}+\lambda C_{2})z+(D_{1}+\lambda D_{2})=0$ . (...24a) S h e m b u l l i 12. - Të gjendet ekuacioni i planit $\delta$ i cili kalon nëpër prerjen e planeve $\alpha :\ {\vec {r}}\cdot ({\vec {i}}+{\vec {j}}-{\vec {k}})=2\ {\text{dhe}}\ \beta :\ {\vec {r}}(5{\vec {i}}-{\vec {j}}-{\vec {k}})=5$ dhe është normal në planin $\gamma :\ {\vec {r}}.({\vec {i}}-{\vec {j}}+{\vec {k}})=1$ . Z g j i d h j e : Nga tufa e planeve (23a) duhet ta zgjedhim atë plan vektori normal i të cilit është normal në vektorin normal të planit $\gamma$ , pra $({\vec {a}}_{1}+\lambda {\vec {a}}_{2})\perp {\vec {a}}_{3}$ . Nga kjo konditë del relacioni i barazisë $({\vec {a}}_{1}+\lambda {\vec {a}}_{2})\cdot {\vec {a}}_{3}=0$ . Meqenëse: ${\vec {a}}_{1}+\lambda {\vec {a}}_{2}=(1+5\lambda ){\vec {i}}+(1-\lambda ){\vec {j}}-(1+\lambda ){\vec {k}}$ , ndërsa $a_{3}={\vec {i}}{\vec {j}}+{\vec {k}}$ , prandaj kemi $\left[(1+5\lambda ){\vec {i}}+(1-\lambda ){\vec {j}}-(1+\lambda ){\vec {k}}\right]\cdot ({\vec {i}}-{\vec {j}}+{\vec {k}})=0$ prej nga del $\lambda ={\frac {1}{5}}$ . Pra, ekuacioni i planit të kërkuar është $\delta :\ {\vec {r}}\cdot \left(2{\vec {i}}+{\frac {4}{5}}{\vec {j}}-{\frac {6}{5}}{\vec {k}}\right)=3$ . 3. DREJTËZA 3.1. DREJTËZA SI PRERJE E DY PLANEVE Në p. 1.1. konstatuam se lakorja $\mathbf {L}$ në hapësirë paraget pikat e përbashkëta të dy sipërfaqeve $\mathbf {S} _{1}:\ f_{1}(x,y,z)=0$ dhe $\mathbf {S} _{2}:\ f_{2}(x,y,z)=0$ . Në bazë të kësaj thuhet se drejtëza $\mathbf {d}$ në hapësirë paraqet pikat e përbashkëta të dy