Hipi Zhdripi i Matematikës/1054

Mbledhja dhe shumëzimi si veprime binare në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {N}$ përkufizohen në këtë mënyrë: P ë r k u f i z i m i 1.2. - Mbledhja e numrave natyralë quhet pasqyrimi + : $\scriptstyle \mathbb {N}$ ² → $\scriptstyle \mathbb {N}$ i dhënë me $\scriptstyle {\forall }$ që ka këto veti: $\scriptstyle {=}$ dhe $\scriptstyle {=}$ Numrat $a$ , $b$ quhen mbledhësa, kurse $c$ (ose $a+b$ ) shuma e numrave $a$ dhe $b$ . P ë r k u f i z i m i 1.3. - Shumëzimi i numrave natyralë quhet pasqyrimi : $\scriptstyle \mathbb {N}$ ²→ $\scriptstyle \mathbb {N}$ i dhënë me $\scriptstyle {\forall }$ që ka këto veti: (a₁) $\scriptstyle {=}$ dhe (a₂) $\scriptstyle {=}$ Numrat $a$ , $b$ quhen faktorë të shumëzimit, kurse $c$ (ose $a • b$ ) prodhimi i numrave $a$ dhe $b$ . Nga këto përkufizime shihet se bashkësia e numrave natyralë është e mbyllur lidhur me veprimet e mbledhjes dhe të shumëzimit. P ë r k u f i z i m i 1.4. - Kur për dy numra të dhënë natyralë $a$ , $b$ ekziston numri natyral $d$ , i tillë që $\scriptstyle {=}$ , thuhet se $a$ është më e madhe se $b$ (shënohet: $a > b$ ) ose $b$ është më e vogël se $a$ (shënohet: $b < a$ ). Nëse $a > b$ ose $\scriptstyle {=}$ , kjo shënohet $\scriptstyle \geqslant$ , ndërkaq nëse $a < b$ ose $\scriptstyle {=}$ , kjo shënohet me $a b$ . Relacionet e trajtës: $\scriptstyle \geqslant$ dhe $a b$ quhen jobarazi. Meqë relacioni $>$ është jorefleksiv në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {N}$ , në këtë bashkësi vlen ligji i trihotomisë që shprehet T e o r e m a 1.1. - Për çdo dy numra natyrale $a$* , $b$ vlen vetëm njëra prej tri relacioneve:* $\scriptstyle {=}$ ^[1]. Pastaj, meqë $>$ është relacion rigoroz i renditjes (është: jorefleksiv, antisimetrik dhe transitiv) në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {N}$ , thuhet se bashkësia e numrave natyralë është bashkësi e renditur. Në bashkësinë e renditur $\scriptstyle \mathbb {N}$ numrat $a$ , $a'$ respektivisht $a$ , $a+1$ quhen numra të njëpasnjëshëm ose numra suksesivë. Nga aksioma 1.1. rrjedh: ↑ 2) Vërtetimi i kësaj teoreme nxirret nga shembulli 4 (fq. 58) dhe përkufizimi 1.4. Provo!