Hipi Zhdripi i Matematikës/1145

Duke zbatuar Teoremën e Pitagorës në $\vartriangle 0AM'$ dhe $\vartriangle 0M'M$ (fig. 5.11.) marrim formulën për modulin e vektorit ${\vec {r}}$ : $r=\|{\vec {r}}\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ . (...10) Nga trekëndëshat $0AM$ , $0BM$ , $0CM$ përcaktohen formulat për koordinatat natat e vektorit ${\vec {r}}$ : $x=r\cos \alpha ,\ y=r\cos \beta ,\ z=\cos \gamma$ , (...11) ku $\alpha ,\beta ,\gamma$ paraqesin këndet që formon vektori ${\vec {r}}$ me boshtet koordinative $0x,0y,0z$ . Formulat (11) kur paraqiten në këtë trajtë $\cos \alpha ={\frac {x}{r}},\ \cos \beta ={\frac {y}{r}},\ \cos \gamma -={\frac {z}{r}}$ (...11a) shërbejnë për njehsimin e këndeve $\alpha ,\beta ,\gamma$ . Projeksionet e ortit ${\vec {r}}_{0}$ në boshtet koordinative përcaktohen me këto formula: $x=\cos \alpha ,\ y=\cos \beta ,\ z=\cos \gamma$ . (...12) Nga këto del se ortin ${\vec {r}}_{0}$ në sistemin koordinativ kartezian $0xyz$ mund ta shprehim në këtë mënyrë: ${\vec {r}}_{0}={\vec {i}}\cos \alpha +{\vec {j}}\cos \beta +{\vec {k}}\cos \gamma$ . P.sh. orti i vektorit ${\vec {r}}(2,-2,-1)$ është: ${\vec {r}}={\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {2}{3}}{\vec {j}}-{\frac {1}{3}}{\vec {k}}$ $={\frac {1}{3}}(2{\vec {i}}-2{\vec {j}}-{\vec {k}})$ . Kur formulën (10) e aplikojmë për ortin ${\vec {r}}_{0}$ , marrim $\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1$ . (...13) Nga formulat e paraqitura shihet se me anën e tyre mund të përcaktohen moduli, drejtimi dhe kahu i një vektori, nëse dihen koordinatat karteziane të tij dhe anasjelltas, kur dihen moduli dhe këndet që formon një vektor me boshtet koordinative $0x,0y,0z$ , mund të njehsohen koordinatat karteziane të tij. S h e m b u l l i 7. - Të njehsohen koordinatat e vektorit ${\vec {r}}$ , moduli i të cilit është $3$ , kurse këndet që formon me boshtin $0y$ dhe me kahjet negative të boshteve $0x,0z$ janë të barabarta.