Hipi Zhdripi i Matematikës/1184

prandaj ky kënd përcaktohet me formulën $\cos \varphi ={\frac {{\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {a}}_{2}}{\|{\vec {a}}_{1}\|\|{\vec {a}}_{2}\|}}$ . (...16) Kur vektorët ${\vec {a}}_{1}$ dhe ${\vec {a}}_{2}$ shprehen me koordinata, këndi përcaktohet me formulën: $cos\varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}}}$ (...16a) ndërkaq, kur merren ortet e tyre, përftohet kjo formulë: $\cos \varphi =\cos \alpha _{1}\cos \alpha _{2}+\cos \beta _{1}\cos \beta _{2}+\cos \gamma _{1}\cos \gamma _{2}.$ (...16b) Në bazë të këtyre formulave del se: 1° kushti i paralelshmërisë së dy planeve ( $\alpha \\|\beta$ ) mund të shprehet me këto relacione: ${\vec {a_{1}}}=k{\vec {a}}_{2}{\text{ose}}{\vec {a_{1}}}\times {\vec {a}}_{2}=0{\text{ose}}{\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}.$ . (...17) ndërsa 2° kushti që dy plane të jenë normale ( $\alpha \perp \beta$ ) mund të shprehet me këto relacione: ${\vec {a}}_{1}\perp {\vec {a}}_{2}\ {\text{ose}}\ {\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {a}}_{2}=0\ {\text{ose}}\ A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0$ ..... (...18) S h e m b u l l i 7. - Të caktohet këndi ndërmjet planeve $\alpha :\ {\vec {r}}\cdot ({\vec {i}}+2{\vec {j}}-2{\vec {k}})=8{\text{dhe}}\beta :\ 2x+2y-z-3=0$ . Z g j i d h j e : Ekuacionin e planit $\beta$ e shprehim në trajtën vektoriale ${\vec {r}}.(2{\vec {i}}+2{\vec {j}}-{\vec {k}})=3$ dhe pastaj aplikojmë formulën (16): $\cos \varphi ={\frac {({\vec {i}}+2{\vec {j}}-2{\vec {k}})\cdot (2{\vec {i}}+2{\vec {j}}-{\vec {k}})}{9}}={\frac {8}{9}}\Rightarrow \varphi =27^{\circ }16'$ . 2.3. FORMA SEGMENTARE E EKUACIONIT TË PLANiT Le të supozojmë se plani $\alpha :\ Ax+By+Cz+D=0,\ {\text{ku}}ABCD\neq 0$ (...12a) i pret boshtet koordinative $0x,0y,0z$ në këto pika: $M_{1}(a,0,0),M_{2}(0,b,0),M_{3}(0,0,c)$ . Kur koordinatat e këtyre pikave i zëvendësojmë në ekuacionin e planit, përftojmë $Aa+D=0.\ Bb+D=0,\ Cc+D=0.$