Hipi Zhdripi i Matematikës/1255

i korrespondon vargu i vlerave të funksionit $y=f(x):f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n),\dots$ Tani themi:        P ë r k u f i z i m i  2.6.4. - Numri $b$ quhet limit i funksionit $y=f(x)$, kur $x\to a$, nëse vargut $(x_n)$ të vlerave të argumentit $x$, ku $x_n\to a$, kur $n\to \mathrm{\infty }$, i korrespondon vargu i vlerave të funksionit $(f(x_n))$ i tillë që $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=b$.[1]         Ky fakt simbolikisht shënohet $\underset{n\to a}{lim}f(x)=b$.         Pra, meqen $\underset{x+a}{lim}f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)$, konkludojmë se të gjitha teoremat e paraqitura në p. 1.2. dhe p. 1.3. lidhur me limitin e vargut të pafundëm numerik dhe teoremat për limite vlejnë edhe për limitin e funksionit. Kështu, kur ekziston $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ dhe $\underset{x\to a}{lim}g(x)$, atëherë:         1 ° $\underset{x\to a}{lim}[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\to a}{lim}f(x)\pm \underset{x\to a}{lim}g(x)$; (7b)         2 ° $\underset{x\to a}{lim}[cf(x)]=c\underset{x\to a}{lim}f(x),c=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$; (8b)         3 ° $\underset{x\to a}{lim}[f(x)\cdot g(x)]=\underset{x\to a}{lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{lim}g(x)$; (8c)         4 ° $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}f(x)}{\underset{x\to a}{lim}g(x)}$; (9b)         5 ° $\underset{x\to a}{lim}{[f(x)]}^{g(x)}={[\underset{x\to a}{lim}f(x)]}^{\underset{x\to a}{lim}g(x)}$ dhe (12a)         6 ° $(\mathrm{\forall }x\in X)\underset{x\to a}{lim}f(x)=f\left(\underset{x\to a}{lim}x\right)$, (13a) ku $y=f(x)$ është funksion elementar themelor.        T e o r e m a  2.6.1. - Nëse funksionet $f(x)$ dhe $h(x)$ kanë limite të njëjta, kur $x\to a$, kurse funksioni $g(x)$, në rrethinën e numrit $a$, ndodhet ndërmjet atyre funksioneve, atëherë edhe funksioni $g(x)$ ka po atë limit.        V ë r t e t i m Hipotezat e kësaj teoreme janë:         1 ° funksionet $f(x)$, $g(x)$ dhe $h(x)$ janë të përcaktuara në rrethinën e numrit $a$, ku $f(x)<g(x)<h(x)$ dhe         2° $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}h(x)=b$.         Teza e teoremës është se ekziston $\underset{x\to a}{lim}g(x)$ dhe $\underset{x\to a}{lim}g(x)=b$.         Nga supozimet $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}h(x)=b$ rrjedh se për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$ ekziston rrethina $(a-\delta ,a+\delta )$ e numrit $a$ e tillë që $|f(x)-b|<\epsilon \mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{e}|h(x)-b|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$ ose $b-\epsilon <f(x)<b+\epsilon \mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{e}b-\epsilon <h(x)<b+\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$.

< 1254 faqe - 1255 - 1256 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1254 faqe - 1255 - 1256 >