Hipi Zhdripi i Matematikës/1255

i korrespondon vargu i vlerave të funksionit $y\!=\!f(x)\!:f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots ,f(x_{n}),\ldots$ Tani themi:        P ë r k u f i z i m i  2.6.4. - Numri $b$ quhet limit i funksionit $y=f(x)$, kur $x\rightarrow a$, nëse vargut $(x_{n})$ të vlerave të argumentit $x$, ku $x_{n}\rightarrow a$, kur $n\rightarrow \infty$, i korrespondon vargu i vlerave të funksionit $(f(x_{n}))$ i tillë që $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=b$.[1]         Ky fakt simbolikisht shënohet $\lim _{n\to a}f(x)=b$.         Pra, meqen $\lim _{x+a}f(x)=\lim _{n\to \infty }f(x_{n})$, konkludojmë se të gjitha teoremat e paraqitura në p. 1.2. dhe p. 1.3. lidhur me limitin e vargut të pafundëm numerik dhe teoremat për limite vlejnë edhe për limitin e funksionit. Kështu, kur ekziston $\lim _{x\to a}f(x)$ dhe $\lim _{x\to a}g(x)$, atëherë:         1 ° $\lim _{x\to a}\left[f(x)\pm g(x)\right]=\lim _{x\to a}f(x)\pm \lim _{x\to a}g(x)$; (7b)         2 ° $\lim _{x\to a}\left[cf(x)\right]=c\lim _{x\to a}f(x),\ c=\mathrm {const}$; (8b)         3 ° $\lim _{x\to a}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)$; (8c)         4 ° $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {{\underset {x\to a}{\lim }}f(x)}{{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)}}$; (9b)         5 ° $\lim _{x\to a}\left[f(x)\right]^{g(x)}=\left[\lim _{x\to a}f(x)\right]^{{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)}$ dhe (12a)         6 ° $(\forall x\in X)\lim _{x\to a}f(x)=f\left(\lim _{x\to a}x\right)$, (13a) ku $y=f(x)$ është funksion elementar themelor.        T e o r e m a  2.6.1. - Nëse funksionet $f(x)$ dhe $h(x)$ kanë limite të njëjta, kur $x\rightarrow a$, kurse funksioni $g(x)$, në rrethinën e numrit $a$, ndodhet ndërmjet atyre funksioneve, atëherë edhe funksioni $g(x)$ ka po atë limit.        V ë r t e t i m Hipotezat e kësaj teoreme janë:         1 ° funksionet $f(x)$, $g(x)$ dhe $h(x)$ janë të përcaktuara në rrethinën e numrit $a$, ku $f(x)<g(x)<h(x)$ dhe         2° $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=b$.         Teza e teoremës është se ekziston $\lim _{x\to a}g(x)$ dhe $\lim _{x\to a}g(x)=b$.         Nga supozimet $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=b$ rrjedh se për çdo numër pozitiv $\varepsilon >0$ ekziston rrethina $(a-\delta ,a+\delta )$ e numrit $a$ e tillë që $|f(x)-b|<\varepsilon \ \mathrm {dhe} \ |h(x)-b|<\varepsilon \ \mathrm {kur} \ 0<|x-a|<\delta$ ose $b\!-\!\varepsilon \!<\!f(x)\!<\!b\!+\!\varepsilon \ \mathrm {dhe} \ b\!-\!\varepsilon \!<\!h(x)\!<\!b\!+\!\varepsilon \ \mathrm {kur} \ 0\!<\!|x\!-\!a|\!<\!\delta$.

< 1254 faqe - 1255 - 1256 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1254 faqe - 1255 - 1256 >