Hipi Zhdripi i Matematikës/1237

Pasi $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt[3]{1+n^2}}=1$, konkludojmë se relacioni i dhënë është i saktë.        S h e m b u l l i  9. -  Të provohet se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{k=2}^n(1-\frac{1}{k^2})=\frac{1}{2}$.        Z g j i d h j e : Produktin e dhënë e shprehim: $\begin{array}{cc}\prod _{k=2}^n(1-\frac{1}{k^2})& =\prod _{k=2}^n\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\\ & =(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2})(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3})\cdots (\frac{n-2}{n-1}\cdot \frac{n}{n-1})(\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n+1}{n})=\\ & =\frac{1}{2}(\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3})(\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4})\cdots (\frac{n}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n})\cdot \frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n},\end{array}$ prandaj del: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{k=2}^n(1-\frac{1}{k^2})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{2}$.        S h e m b u l l i  10. -  Të provohet se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1$.        Z g j i d h j e : E shkruajmë se $\sqrt[n]{n}=1+h$, ku $h>0$.         Nga kjo barazi marrim : $n=(1+h{)}^n$ ose         $n=1+nh+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})h^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})h^3+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})h^{n-1}+h^n$. Siç shihet, pra: $\frac{n}{2}>(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})h^2\Rightarrow 1>\frac{n-1}{2}{h}^2\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}h<\sqrt{\frac{2}{n-1}}$. Meqenëse $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{2}{n-1}}=0$, konkludojmë: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+h)=1+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}h=1$.        S h e m b u l l i  11. -  Të provohet se ${\left(\prod _{k=1}^n\frac{1}{2^k+1}\right)}_{n=1}$ është varg komvergjent.        Z g j i d h j e : Meqenëse: $a_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k+1}<\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^n}\sum _{k=1}^n{2}^{k-1}=\frac{1}{2^n}(2^n-1)=1-\frac{1}{2^n}<1$ d.m.th. $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})a_n<1$, konkludojmë se vargu i dhënë është i kufizuar.         Pasi kufiza $a_{n+1}$ mund të shprehet në këtë mënyrë: $a_{n+1}=\sum _{k=1}^{n+1}\frac{1}{2^k+1}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^{n+1}+1}=a_n+\frac{1}{2^{n+1}+1}$

< 1236 faqe - 1237 - 1238 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

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