Hipi Zhdripi i Matematikës/1231

Ky relacion shpreh faktin se $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{a_{n}}}=0$ - me çka vërtetohet pohimi i teoremës. Në mënyrë të ngjashme vërtetohet edhe pohimi i anasjelltë. T e o r e m a (e Bolzano-Weierstrassit^[1]) 1.2.2. - Çdo varg i kufizuar dhe monoton është konvergjent. Zaten, vargjet konvergjente kanë një sërë vetish. Vetitë kryesore të vargjeve konvergjente janë: 1 ° vargu konvergjent gjithmonë është i kufizuar; 2 ° pjesa e vargut konvergjent me pafund shumë kufiza është varg konvergjent dhe ka po atë limit sikurse edhe vet vargu; 3 ° me plotësimin e vargut konvergjent me një numër të fundëm kufizash, limiti i tij nuk ndryshohet; 4 ° me ndryshimin e renditjes së kufizave të vargut konvergjent, limiti i tij nuk ndryshohet; 5 ° kur $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ , $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$ dhe $a<b$ atëherë ekziston një numër natyral $k$ i tillë që $(\forall n>k)a_{n}<b_{n}$ ; 6 ° kur limiti i vargut konvergjent është numër negativ, vargu ka pafund shumë kufiza negative, kurse një numër të fundëm kufizash pozitive, ndërkaq kur limiti i tij është numër pozitiv, vargu ka pafund shurnë kufiza pozitive, kurse një numër të fundëm kufizash negative. Kur vargu ka pafund shumë kufiza pozitive dhe kufiza negative, vargu është ose divergjent ose limiti i tij është zero; 7 ° kur për kufizat e vargjeve konvergjente $(a_{n})$ dhe $(b_{n})$ vlejnë relacionet $a_{n}\leqslant b_{n}\ (n=1,2,\ldots )$ , $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }b_{n}$ ; 8° kur $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=a\land a_{n}\leqslant c_{n}\leqslant b_{n}(n=1,2,\ldots )$ do të jetë edhe $\lim _{n\to \infty }c_{n}=a$ . S h e m b u l l i 1 - Të vërtetohet se vargu kufiza e përgjithshme e cilit është $a_{n}={\frac {8}{n^{3}}}$ është varg $\mathrm {pmv}$ dhe të njehsohet $\mathbb {N} (\varepsilon )$ , nëse $\varepsilon =0,001$ . Z g j i d h j e : Vargu i dhënë është $\mathrm {pmv}$ . sepse nga $\left\|{\frac {8}{n^{3}}}\right\|<\varepsilon \Rightarrow {\frac {8}{n^{3}}}<\varepsilon \Rightarrow n^{3}>{\frac {8}{\varepsilon }}\Rightarrow n>{\frac {2}{\sqrt[{3}]{\varepsilon }}}$ ↑ 3)Bernhard Bolzano (1781 -1848), matematikan i shquar çek, i cili i pari futi në matematikë konceptin e limitit Karl Weierstrass (1815-1897), matematikan i shquar gjerrnan, i cili shurnë kontribuoi për zhvillirnin e analizës matematike dhe gieometrisë difcrenciale.