Hipi Zhdripi i Matematikës/1120

1°. Kur $1\leqslant s\leqslant r$ , atëherë $D_{s}=0$ , sepse dy shtyllat e tyre janë identike; :identike, 2°. Kur $r+1\leqslant s\leqslant n$ , atëherë $D_{s}=0$ , sepse rangu i matricës $A$ është $r$ . :është $r$ . Pra, konkludojmë: $\Delta =0$ . E zhvillojmë tani përcaktorin $\Delta$ në kofaktorë sipas elementeve të shtyllës së fundit: $A_{1}f_{1}+A_{2}f_{2}+\cdots +A_{r}f_{r}+A_{j}f_{j}=0$ nga përftohet: $f_{j}=a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+\cdots +a_{r}f_{r}$ , ku $a_{i}$ janë këto konstante $a_{i}=-{\frac {A_{i}}{A_{j}}}(i=1,2,\cdots ,r)$ , kurse $A_{j}=D\neq 0$ . Pra, $f_{j}$ është forma lineare e varur. 7.3. PAVARSHMËRIA E RRESHTAVE DHE E SHTYLLAVE TË MATRICËS P ë r k u f i z i m i 7.3.l. - Për rreshtat $[a_{i1}\ a_{i2}\cdots a_{in}]\ (i=1,2,\ldots ,m)$ e matricës $A=[a_{ik}]_{m,n}$ thuhet se janë linearisht të varur, përkatësisht të pavarur kur format lineare $f_{i}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}x_{k}\ (i=1,2,\ldots m)$ janë linearisht të varura, përkatësisht të pavarura. P ë r k u f i z i m i 7.3.2. - Për shtyllat ${\begin{bmatrix}a_{1k}\\a_{2k}\\\vdots \\a_{mk}\end{bmatrix}}\ (k=1,2,\ldots ,n)$ e matricës $A=[a_{ik}]_{m,n}$ thuhet se janë linearisht të varura, përkatësisht të pavarura kur format lineare $f_{i}=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}x_{k}\ (1=1,2,\cdots ,m)$ janë linearisht të varura, përkatësisht të pavarura. T e o r e m a 7.3.1. - Matrica katrore $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ është matricë singulare atëherë dhe vetëm atëherë nëse rreshtat e saj janë linearisht të varur. V ë r t e t i m Hipoteza e teoremës është e nevojshme, meqë supozimi $\det A=0$ implikon që $r(A)<n$ , çka do të thotë se së paku një rresht i matricës $A$ është kombinimi linear i rreshtave të tjerë.