Hipi Zhdripi i Matematikës/1156

Projektojmë vektorin ${\vec {a}}$ në planin $\alpha$ dhe këtë projeksion e rrotullojmë për 90° rreth boshtit ${\vec {c}}_{0}$ në kahun e rrotullimit të akrepave të orës, kështu përftohet vektori ${\overrightarrow {0A_{2}}}$ , ku 1 °. $\|{\overrightarrow {0A_{2}}}\|=\|{\overrightarrow {0A_{1}}}\|=\|{\vec {a}}\|\cos \left[{\frac {\pi }{2}}-\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {c}}_{0})\right]=\|{\vec {a}}\|\sin({\vec {a}},{\vec {c}}_{0})$ . Ky vektor plotëson edhe këto dy kushte: 2°. ${\overrightarrow {0A_{2}}}\perp {\vec {a}},{\overrightarrow {0A_{2}}}\perp {\vec {c}}$ ; dhe 3°. $({\vec {a}},{\vec {c}}_{0},{\overrightarrow {0A_{2}}})$ - paraqet reperin e djathtë; prandaj konkludojmë se ${\overrightarrow {0A_{2}}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}_{0}$ . Shikojmë tani trekëndëshin brinjët e të cilit janë vektorët. ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}+{\vec {b}}$ dhe projektojmë atë në planin $\alpha$ - përftojmë $\vartriangle 0A_{1}B1$ . Rrotullojmë edhe këtë trekëndësh në të njëjtin kah për 90° - marrim $\vartriangle 0A_{2}B_{2}$ . Në mënyrë të njëjtë tani vërtetohet se ${\overrightarrow {0B_{2}}}=({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}_{0}$ dhe ${\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}={\vec {b}}\times {\vec {c}}_{0}$ . Nga $\vartriangle 0A_{2}B_{2}$ marrim se ${\overrightarrow {0B_{2}}}={\overrightarrow {0A_{2}}}+{\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}$ ku pas zëvendësimeve përkatëse del $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}_{0}={\vec {a}}\times {\vec {c}}_{0}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}_{0}$ . Kur e shumëzojmë barazinë e fundit me $\|{\vec {c}}\|$ marrim formulën $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}$ çka edhe donim të vërtetonim. Nga ligji distributiv i prodhimit vektorial të vektorëve rezulton se dy polinome vektoriale shumëzohen në mënyrë vektoriale sipas rregullave për shumëzimin e polinomeve në algjebër me kusht që të ruhet renditja e faktorëve vektorialë. Kështu, p.sh.: $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times ({\vec {c}}+{\vec {d}})={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {a}}\times {\vec {d}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {d}}$ . S h e m b u l l i 15 - Të vërtetohet identiteti $({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}+({\vec {a}}\times {\vec {b}})^{2}=a^{2}b^{2}$ . V ë r t e t i m: Meqenëse $({\vec {a}}{\vec {b}})^{2}=[ab\cos({\vec {a}},{\vec {b}})]^{2}=a^{2}b^{2}\cos ^{2}({\vec {a}},{\vec {b}})$ , dhe $({\vec {a}}\times {\vec {b}})^{2}=[ab\sin({\vec {a}},{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}_{0}]=a^{2}b^{2}\sin({\vec {a}},{\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}_{0})^{2}$ $=a^{2}b^{2}\sin ^{2}({\vec {a}},{\vec {b}})$