Hipi Zhdripi i Matematikës/1265

V ë r t e t i m Le të marrim se $C$ paraqet një vlerë ndërmjet $f(a)$ dhe $f(b)$. Duhet të tregojmë se ekziston së paku një pikë $c\in [a,b]$ e atillë që $f(c)=C$.         Për këtë qëllim e marrim funksionin $g(x)=f(x)-C$ i cili është i vazhdueshëm në $[a,b]$ (sipas teoremës 2.7.2.1.) dhe në skanjet e tij merr vlera me parashenja të kundërta, d.m.th. funksioni $g(x)=f(x)-C$ i plotëson konditat e teoremës së Bolzanos, prandaj ndërmjet pikave $a$ dhe $b$ ka të paktën një pikë $c$ e atillë që $g(c)=f(c)-C=0$ ose $f(c)=C$, çka vërteton pohimin e teoremës. 3. DERIVATET E FUNKSIONIT 3.1. KUPTIMI I DERIVATIT DHE INTERPRETIMI I TIJ GJEOMETRIK DHE MEKANIK         Le të marrim funksionin $y=f(x)$ e përcaktuar në intervalin $(a,b)$. Le të jetë $x$ një pikë e fiksuar, kurse $x+\mathrm{\Delta }x$ një pikë çfarëdo e këtij intervali, d.m.th. $a<x<b,a<x+\mathrm{\Delta }x<b$. E dimë se shtesës së argumentit $\mathrm{\Delta }x$ i korrespondon shtesa e funksionit $\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$ (p. 2.7.). Shqyrtojmë raportin (herësin) e këtyre shtesave: $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$.(32) Ky raport është funksion i ndryshores $\mathrm{\Delta }x$ i përcaktuar për të gjitha vlerat $\mathrm{\Delta }x$ nga intervali $(a-x,b-x)$, përpos për $\mathrm{\Delta }x=0$. Nëse ekziston vlera kufitare e këtij funksioni, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, ajo quhet derivat i parë, ose shkurt derivat i funksionit $y=f(x)$ në pikën e dhënë $x$, pra:        P ë r k u f i z i m i  3.1.1. - Derivat i funksionit $y=f(x)$ në pikën $x$ quhet limiti i raportit të shtesës së funksionit $\mathrm{\Delta }y$ me shtesën e argumentit $\mathrm{\Delta }x$ (kur shtesa argumentit tendon në zero), nëse ky limit ekziston dhe është i fundëm.[1]         Derivati i funksionit $y=f(x)$ shënohet me $y^{\prime }$ ose $f(x)$ ose $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ dhe lexohet: $y$ prim ose ef prim në pikën $x$ ose de $y$ për de $x$. Pra: $y^{\prime }(=f(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$. (33)         Për të njehsuar derivatin e funksionit $y=f(x)$ në pikën $x$ sipas këtij përkufizimi duhet të kryhen këto veprime:         1 ° të njehsohet shtesa $\mathrm{\Delta }y$ e funksionit që i korrespondon shtesës $\mathrm{\Delta }x$ të argumentit: $\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$;         2° të gjendet raporti i shtesës së funksionit me shtesën e argumentit:$frac\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }x$; dhe

< 1264 faqe - 1265 - 1266 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1264 faqe - 1265 - 1266 >