Hipi Zhdripi i Matematikës/1238

konstatojmë se $(\forall n\in \mathbb {N} )a_{n+1}>a_{n}$ , çka do të thotë se vargu i dhënë është monoton rritës. Pra, vargu i dhënë është i kufizuar dhe monoton rritës, prandaj - në bazë të teoremës së Bolzano - Weierstrassit - konkludojmë se është varg konvergjent. 1.4. NUMRI $e\!$ Marrim vargun $(a_{n})$ me kufizën e përgjithshme $a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ . Në bazë të teoremës së Bolzano- Weierstrassit mund të provojmë se ky varg është konvergjent. Vërtet, kufizatën $a_{n}$ dhe $a_{n+1}$ e zhvillojmë sipas formulës binomiale të Newtonit: ${\begin{alignedat}{2}a_{n}&\!=\!\left(1\!+\!{\frac {1}{n}}\right)^{n}\!=\!1\!+\!{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}\!+\!{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}\!+\!\cdots \!+\!{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}\\&\!=\!1\!+\!1\!+\!{\frac {1}{2!}}\!\left(\!1\!-\!{\frac {1}{n}}\!\right)\!+\!{\frac {1}{3!}}\!\left(\!1\!-\!{\frac {1}{n}}\!\right)\!\left(\!1\!-\!{\frac {2}{n}}\!\right)\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{n!}}\!&\left[\!\left(\!1\!-\!{\frac {1}{n}}\!\right)\!\left(\!1\!-\!{\frac {2}{n}}\!\right)\!\cdots \!\right.\!\\&&\left.\!\cdots \!\left(\!1\!-\!{\frac {n\!-\!1}{n}}\!\right)\!\right]\!\end{alignedat}}$ dhe (veprojmë në mënyrë analoge): ${\begin{aligned}a_{n+1}&\!=\!1\!+\!1\!+\!{\frac {1}{2!}}\!\left(\!1\!-\!{\frac {1}{n\!+\!1}}\!\right)\!+\!{\frac {1}{3!}}\!\left(\!1\!-\!{\frac {1}{n\!+\!1}}\!\right)\!\left(\!1\!-\!{\frac {2}{n\!+\!1}}\!\right)\!\!+\!\cdots \!+\!\\&\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{(n\!+\!1)!}}\!\left[\!\left(\!1\!-\!{\frac {1}{n\!+\!1}}\!\right)\!\left(\!1\!-\!{\frac {2}{n\!+\!1}}\!\right)\!\cdots \!\left(\!1\!-\!{\frac {n}{n\!+\!1}}\!\right)\!\right]\!\end{aligned}}$ Mbledhësit e kufizës $a_{n+1}$ , janë më të mëdhenj se mbledhësit përkatës të kufizës $a_{n}$ , sepse $(\forall n,k\ \in \mathbb {N} ,\ k<n)1-{\frac {k}{n+1}}>1-{\frac {k}{n}}$ . Përveç kësaj, kufiza $a_{n+1}$ , ka një mbledhës më tepër se kufiza $a_{n}$ , prandaj del se $(\forall n\in \mathbb {N} )a_{n+1}>a_{n}$ , çka do të thotë se vargu i dhënë është monoton rritës. Ky varg është edhe i kufizuar. Vërtet, pasi: $\left(1\!-\!{\frac {1}{n}}\right)\left(1\!-\!{\frac {2}{n}}\right)\left(1\!-\!{\frac {3}{n}}\right)\cdots \left(1\!-\!{\frac {k}{n}}\right)<1,\quad \forall k=1,2,\ldots ,n\!-\!1$ dhe $k!>2^{k-1},\ 2<\forall k\in \mathbb {N}$ , për kufizën e përgjishme $a_{n}$ vlen relacioni: $a_{n}<1+\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)$ .