- konstatojmë se
, çka do të thotë se vargu i dhënë është monoton rritës.
- Pra, vargu i dhënë është i kufizuar dhe monoton rritës, prandaj - në bazë të teoremës së Bolzano - Weierstrassit - konkludojmë se është varg konvergjent.
1.4. NUMRI 
- Marrim vargun
me kufizën e përgjithshme . Në bazë të teoremës së Bolzano- Weierstrassit mund të provojmë se ky varg është konvergjent.
- Vërtet, kufizatën
dhe e zhvillojmë sipas formulës binomiale të Newtonit:
- dhe (veprojmë në mënyrë analoge):
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&\!=\!1\!+\!1\!+\!{\frac {1}{2!}}\!\left(\!1\!-\!{\frac {1}{n\!+\!1}}\!\right)\!+\!{\frac {1}{3!}}\!\left(\!1\!-\!{\frac {1}{n\!+\!1}}\!\right)\!\left(\!1\!-\!{\frac {2}{n\!+\!1}}\!\right)\!\!+\!\cdots \!+\!\\&\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{(n\!+\!1)!}}\!\left[\!\left(\!1\!-\!{\frac {1}{n\!+\!1}}\!\right)\!\left(\!1\!-\!{\frac {2}{n\!+\!1}}\!\right)\!\cdots \!\left(\!1\!-\!{\frac {n}{n\!+\!1}}\!\right)\!\right]\!\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324352b6a684d6414bea746677e56f9d1dfcca7a)
- Mbledhësit e kufizës
, janë më të mëdhenj se mbledhësit përkatës të kufizës , sepse
.
- Përveç kësaj, kufiza
, ka një mbledhës më tepër se kufiza , prandaj del se , çka do të thotë se vargu i dhënë është monoton rritës.
- Ky varg është edhe i kufizuar. Vërtet, pasi:
- dhe
,
- për kufizën e përgjishme
vlen relacioni:
.
|