Hipi Zhdripi i Matematikës/1233

V ë r t e t i m Të vërtetojmë formulën (7) për shumën e dy vargjeve, respektivisht: $(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|(a_n+b_n)-(a+b)|<\epsilon ,\mathrm{k}\mathrm{u}\mathbb{N}=\mathbb{N}(\epsilon )$.         Meqenëse vargjet $(a_n)$ dhe $(b_n)$ janë konvergjente, del se për çdo $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, ekzistojnë dy numra natyralë ${\mathbb{N}}_1(={\mathbb{N}}_1(\epsilon ))$ dhe ${\mathbb{N}}_2(={\mathbb{N}}_2(\epsilon ))$ të atillë që $(\mathrm{\forall }n>{\mathbb{N}}_1)|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2}\mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{e}(\mathrm{\forall }n>{\mathbb{N}}_2)|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2}$.         Mirëpo, pasi që: $|(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|⩽|a_n-a|+|b_n-b|$ , kemi $(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|(a_n+b_n)-(a+b)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$, ku $\mathbb{N}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}({\mathbb{N}}_1,{\mathbb{N}}_2)$. Pra, konkludojmë se formula (7) është e saktë.         Kur $b_n=c(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t})(n=1,2,\dots )$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n+c)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+c$. (7a)        T e o r e m a  1.3.2. - Limiti i prodhimit të dy vargjeve konvergjente $(a_n)$, $(b_n)$ është i barabartë me prodhimin e limiteve të të tyre, pra: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n\cdot b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$. (8)        V ë r t e t i m Këtu duhet të vërtetojmë se për çdo $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë numri $\epsilon$, ekziston numri $\mathbb{N}(=\mathbb{N}(\epsilon ))$ i tillë që $(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|a_n{b}_n-ab|<\epsilon$.         Ngase $|a_n{b}_n-ab|=|a_n{b}_n-a{b}_n+a{b}_n-ab|=|b_n(a_n-a)+a(b_n-b)|⩽$ $⩽|b_n||a_n-a|+|a||b_n-b|$, dhe pasi që për vargjet konvergjente $(a_n),(b_n)$ për çdo $\epsilon >0$, ekzistojnë dy numra ${\mathbb{N}}_1(={\mathbb{N}}_1(\epsilon ))$ dhe ${\mathbb{N}}_2(={\mathbb{N}}_2(\epsilon ))$ të atillë që $(\mathrm{\forall }n>{\mathbb{N}}_1)|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2|b_n|}\mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{e}(\mathrm{\forall }n>{\mathbb{N}}_2)|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2|a|}$, prandaj marrim: $(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|a_n{b}_n-ab|<|b_n|\frac{\epsilon }{2|b_n|}+|a|\frac{\epsilon }{2|a|}=\epsilon$, ku $\mathbb{N}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}({\mathbb{N}}_1,{\mathbb{N}}_2)$. Pra, konkludojmë se formula (8) është e saktë.         Kur $b_n=c(n=1,2,\dots )$, atëherë $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c{a}_n)=c\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ . (8a)

< 1232 faqe - 1233 - 1234 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1232 faqe - 1233 - 1234 >