Hipi Zhdripi i Matematikës/1233

V ë r t e t i m Të vërtetojmë formulën (7) për shumën e dy vargjeve, respektivisht: $(\forall n>\mathbb {N} )|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|<\varepsilon ,\ \mathrm {ku} \ \mathbb {N} =\mathbb {N} (\varepsilon )$.         Meqenëse vargjet $(a_{n})$ dhe $(b_{n})$ janë konvergjente, del se për çdo $\varepsilon >0$, sado i vogël qoftë $\varepsilon$, ekzistojnë dy numra natyralë $\mathbb {N} _{1}(=\mathbb {N} _{1}(\varepsilon ))$ dhe $\mathbb {N} _{2}(=\mathbb {N} _{2}(\varepsilon ))$ të atillë që $(\forall n>\mathbb {N} _{1})|a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{2}}\ \mathrm {dhe} \ (\forall n>\mathbb {N} _{2})|b_{n}-b|<{\frac {\varepsilon }{2}}$.         Mirëpo, pasi që: $|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|=|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)|\leqslant |a_{n}-a|+|b_{n}-b|$ , kemi $(\forall n>\mathbb {N} )|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$, ku $\mathbb {N} =\mathrm {max} (\mathbb {N} _{1},\mathbb {N} _{2})$. Pra, konkludojmë se formula (7) është e saktë.         Kur $b_{n}=c(\mathrm {const} )\ (n=1,2,\ldots )$, $\lim _{n\to \infty }(a_{n}+c)=\lim _{n\to \infty }a_{n}+c$. (7a)        T e o r e m a  1.3.2. - Limiti i prodhimit të dy vargjeve konvergjente $(a_{n})$, $(b_{n})$ është i barabartë me prodhimin e limiteve të të tyre, pra: $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }b_{n}$. (8)        V ë r t e t i m Këtu duhet të vërtetojmë se për çdo $\varepsilon >0$, sado i vogël qoftë numri $\varepsilon$, ekziston numri $\mathbb {N} (=\mathbb {N} (\varepsilon ))$ i tillë që $(\forall n>\mathbb {N} )|a_{n}b_{n}-ab|<\varepsilon$.         Ngase $|a_{n}b_{n}-ab|=|a_{n}b_{n}-ab_{n}+ab_{n}-ab|=|b_{n}(a_{n}-a)+a(b_{n}-b)|\leqslant$ $\leqslant |b_{n}||a_{n}-a|+|a||b_{n}-b|$, dhe pasi që për vargjet konvergjente $(a_{n}),(b_{n})$ për çdo $\varepsilon >0$, ekzistojnë dy numra $\mathbb {N} _{1}(=\mathbb {N} _{1}(\varepsilon ))$ dhe $\mathbb {N} _{2}(=\mathbb {N} _{2}(\varepsilon ))$ të atillë që $(\forall n>\mathbb {N} _{1})|a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{2|b_{n}|}}\ \mathrm {dhe} \ (\forall n>\mathbb {N} _{2})|b_{n}-b|<{\frac {\varepsilon }{2|a|}}$, prandaj marrim: $(\forall n>\mathbb {N} )|a_{n}b_{n}-ab|<|b_{n}|{\frac {\varepsilon }{2|b_{n}|}}+|a|{\frac {\varepsilon }{2|a|}}=\varepsilon$, ku $\mathbb {N} =\mathrm {max} (\mathbb {N} _{1},\mathbb {N} _{2})$. Pra, konkludojmë se formula (8) është e saktë.         Kur $b_{n}=c\ (n=1,2,\ldots )$, atëherë $\lim _{n\to \infty }(ca_{n})=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}$ . (8a)

< 1232 faqe - 1233 - 1234 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1232 faqe - 1233 - 1234 >