Hipi Zhdripi i Matematikës/1272

S h e n i m: (1) Formula (41) për derivatin e prodhimit të dy funksioneve mund të zgjerohet në derivatin e prodhimit të tre e më tepër funksioneve, përkatësisht: ${\begin{aligned}(uvw)'&=[(uv)w]'=(uv)'w+(uv)w'=\\&=(u'v+uv')w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw',\end{aligned}}$ çka do të thotë se $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$ . (41 a) (2) Kur në formulën (41) njëri faktor i prodhimit është madhësi konstante, b.f. $v(x)=c\ (=\mathrm {const} )$ , ajo shprehet: $(cu)'=cu',\ c=\mathrm {const}$ (41 b) pra, konkludojmë: faktori konstant mund të nxirret jashtë shenjës së derivatit. T e o r e m a 3.2.5. - Derivati i herësit të dy funksioneve $u(x)$ me $v(x)$ shprehet me formulën: $\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$ . (42) V ë r t e t i m Le të marrim funksionin $y=f(x)$ që është shprehur si herësi i dy funksioneve: $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}$ . Shtesa e këtij funksioni është ${\begin{aligned}\Delta y&={\frac {u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}}-{\frac {u(x)}{v(x)}}={\frac {u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)}}=\\&={\frac {u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+x)v(x)}}=\\&={\frac {[u(x+\Delta x)u(x)]\cdot v(x)-u(x)\cdot [v(x+\Delta x)v(x)]}{v(x+\Delta x)v(x)}}\\&={\frac {\Delta uv(x)-u(x)\Delta v}{v(x+\Delta x)v(x)}},\end{aligned}}$ kurse raporti i kësaj shtese me shtesën e argumentit: ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\frac {\Delta uv(x)-u(x-\Delta x)\Delta v}{v(x+\Delta x)v(x)}}{\Delta x}}={\frac {{\frac {\Delta u}{\Delta x}}v(x)-u(x){\frac {\Delta v}{\Delta x}}}{v(x+\Delta x)v(x)}}$ Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\Delta x\rightarrow 0$ , shprehet: ${\begin{aligned}f(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {\Delta u}{\Delta x}}v(x)-u(x){\frac {\Delta v}{\Delta x}}}{v(x+\Delta x)v(x)}}\\&={\frac {{\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}\left[{\frac {\Delta u}{\Delta x}}v(x)-u(x){\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right]}{{\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}[v(x+\Delta x)v(x)]}}={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}}.\end{aligned}}$