Hipi Zhdripi i Matematikës/1235

Formulat që shprehin rregullat për \limitin e fuqisë, rrënjës dhe logaritmin e vargjeve konvergjente janë: $\lim _{n\to \infty }(a_{n})^{k}={\Bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\Bigr )}^{k},\ \mathrm {ku} \ k>0,\ a_{n}>0,\ \forall n\in \mathbb {N}$ (12) dhe $\lim _{n\to \infty }\log _{(b)}a_{n}=\log _{(b)}(\lim _{n\to \infty }a_{n}),\ a_{n}>0,\ \forall n\in \mathbb {N}$ . (13) S h e m b u l l i 3. - Është dhënë vargu numerik: ${\frac {1}{2}},{\frac {5}{4}},{\frac {7}{8}},{\frac {17}{16}},\cdots$ Të caktohet $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ . Sa duhet të jetë numri $n$ në mënyrë që ndryshimin dërmjet kufizës së përgjithshme dhe vlerës kufitare të vargut të mos jetë më i madh se $10^{-4}$ ? Z g j i d h j e : Kufiza e përgjithshme e këtij vargu është $a_{n}={\frac {2^{n}+(-1)^{n}}{2^{n}}}$ , kurse limiti i tij ${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }a_{n}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{n}+(-1)^{n}}{2^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{n}[1+(-2)^{-n}]}{2^{n}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left[1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}\right]=1+\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}=1\end{aligned}}$ Nga jobarazia $\|a_{n}-a\|<10^{-4}\ \mathrm {ose} \ \left\|{\frac {2^{n}+(-1)^{n}}{2^{n}}}\right\|<10^{-4}$ e gjejmë numrin $n$ : $\left\|{\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}\right\|<10^{-4}\Rightarrow {\frac {1}{2^{n}}}<10^{-4}\Rightarrow n>{\frac {4}{\log 2}}\geqslant 14$ . S h e m b u l l i 4. - Të caktohet limiti i vargut, kufiza e përgjithshme e të cilit është $a_{n}={\frac {(n+2)!+(n+1)!}{(n+3)!}}$ . Z g j i d h j e : Ngase $a_{n}={\frac {(n+1)![(n+2)+1]}{(n+3)(n+2)(n+1)!}}={\frac {n+3}{(n+3)(n+2)}}={\frac {1}{n+2}}$ marrim: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+2)!+(n+1)!}{(n+3)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+2}}=0$ S h e m b u l l i 5. - Të caktohet limiti i vargut, kufiza e përgjithshme e të cilit është $a_{n}={\frac {1+2^{-1}+2^{-2}+\cdots +2^{-n}}{1+3^{-1}+3^{-2}+\cdots +3^{-n}}}$ .