Hipi Zhdripi i Matematikës/1235

Formulat që shprehin rregullat për \limitin e fuqisë, rrënjës dhe logaritmin e vargjeve konvergjente janë: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n{)}^k=(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{)}^k,\mathrm{k}\mathrm{u}k>0,a_n>0,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ (12) dhe $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{(b)}{a}_n={\log }_{(b)}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n),a_n>0,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. (13)        S h e m b u l l i  3. -  Është dhënë vargu numerik: $\frac{1}{2},\frac{5}{4},\frac{7}{8},\frac{17}{16},\cdots$ Të caktohet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$. Sa duhet të jetë numri $n$ në mënyrë që ndryshimin dërmjet kufizës së përgjithshme dhe vlerës kufitare të vargut të mos jetë më i madh se $10^{-4}$?        Z g j i d h j e : Kufiza e përgjithshme e këtij vargu është $a_n=\frac{2^n+(-1{)}^n}{2^n}$, kurse limiti i tij $\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n+(-1{)}^n}{2^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n[1+(-2{)}^{-n}]}{2^n}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[1+{(-\frac{1}{2})}^n]=1+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(-\frac{1}{2})}^n=1\end{array}$         Nga jobarazia $|a_n-a|<10^{-4}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\left|\frac{2^n+(-1{)}^n}{2^n}\right|<10^{-4}$ e gjejmë numrin $n$: $\left|\frac{(-1{)}^n}{2^n}\right|<10^{-4}\Rightarrow \frac{1}{2^n}<10^{-4}\Rightarrow n>\frac{4}{\log 2}⩾14$.        S h e m b u l l i  4. -  Të caktohet limiti i vargut, kufiza e përgjithshme e të cilit është $a_n=\frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+3)!}$.        Z g j i d h j e : Ngase $a_n=\frac{(n+1)![(n+2)+1]}{(n+3)(n+2)(n+1)!}=\frac{n+3}{(n+3)(n+2)}=\frac{1}{n+2}$ marrim: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+3)!}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n+2}=0$        S h e m b u l l i  5. -  Të caktohet limiti i vargut, kufiza e përgjithshme e të cilit është $a_n=\frac{1+2^{-1}+2^{-2}+\cdots +2^{-n}}{1+3^{-1}+3^{-2}+\cdots +3^{-n}}$.

< 1234 faqe - 1235 - 1236 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1234 faqe - 1235 - 1236 >