Hipi Zhdripi i Matematikës/1149

Të vërtetojmë se ky zbërthim është i vetmi. Le të supozojmë të kundërtën - se ekzistojnë dy zbërthime të ndryshme: ${\vec {a}}=m_{1}{\vec {a}}_{1}+m_{2}{\vec {a}}_{2}+m_{3}{\vec {a}}_{3},\ a{\vec {=}}n_{1}{\vec {a}}_{1}+n2{\vec {a}}_{2}+n_{3}{\vec {a}}_{3}$. Nga barazia e parë zbresim të dytën, përftohet: $(m_{1}-n_{1}){\vec {a}}_{1}+(m_{2}-n_{2}){\vec {a}}_{2}+(m_{3}-n_{3}){\vec {a}}_{3}=0$.         Për vektorët jokomplanarë ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}$ ky relacion mund të ekzistojë vetëm nëse koeficientët e atij kombinimi linear $m_{1}\!-\!n_{1},m_{2}\!-\!n_{2},m_{3}\!-\!n_{3}$ janë të barabarta me zero. Prandaj, kemi $m_{1}\!-\!n_{1}\!=\!0,m_{2}\!-\!n_{2}\!=\!0,m_{3}\!-\!n_{3}\!=\!0\Rightarrow m_{1}\!=\!n_{1},m_{2}\!=\!n_{2},m_{3}\!=\!n_{3}$, me çka plotësisht u vërtetua pohimi i teoremës.        S h e m b u l l i  8. -  Le të, jetë ${\vec {a}}=16{\vec {i}}-15{\vec {j}}+12{\vec {k}}$. Të caktohet ${\vec {b}}$ moduli i të cilit është $75$, bartësja paralele me bartësen e vektorit ${\vec {a}}$, kurse kahu i kundërt kahut të atij vektori.        Z g j i d h j e : Pra, kemi: ${\vec {b}}=-m{\vec {a}}$ dhe $|-m{\vec {a}}|=75$. Meqenëse $-m{\vec {a}}=-16m{\vec {i}}+15m{\vec {j}}-12m{\vec {k}}$, aplikojmë formulën (10): ${\sqrt {(-16m)^{2}+(15m)^{2}+(-12m)^{2}}}=75\Rightarrow 25m=75\Rightarrow m=3$, pra, vektori i kërkuar është ${\vec {b}}=-48{\vec {i}}+45{\vec {j}}-36{\vec {k}}$.        S h e m b u l l i  9. -  Le të jenë vektorët: ${\vec {r}}_{1}=2{\vec {i}}+{\vec {j}}-3{\vec {k}}$, ${\vec {r}}_{2}={\vec {i}}+2{\vec {j}}-{\vec {k}}$, ${\vec {r}}_{3}=3{\vec {i}}-{\vec {j}}+2{\vec {k}}$ vektorë të pozitës së tri kulmeve të njëpasnjëshme $A,B,C$ të një paralelogrami. Të caktohet vektori i pozitës së kulmit të katërt $D$ (fig. 5.15.). Fig. 5.15.        Z g j i d h j e : Prej fig.5.15. shohim se: ${\overrightarrow {AB}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1},\ {\overrightarrow {DC}}={\vec {r}}_{3}-r_{4}$, ku me ${\vec {r}}_{4}$ kemi shënuar vektorin e pozitës së kulmit $D$. Vektorët ${\overrightarrow {AD}}$ dhe ${\overrightarrow {DC}}$ janë kolinearë dhe të barabartë, prandaj: ${\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}={\vec {r}}_{3}-{\vec {r}}_{4}\Rightarrow {\vec {r}}_{4}={\vec {r}}_{1}+{\vec {r}}_{3}-{\vec {r}}_{2}$, d.m.th. ${\vec {r}}_{4}=5{\vec {i}}-{\vec {k}}-({\vec {i}}+2{\vec {j}}-{\vec {k}})=4{\vec {i}}-2{\vec {j}}$.        S h e m b u l l i  10. -  Le të jenë vektorët: ${\vec {a}}(2,5,-7)$,

< 1148 faqe - 1149 - 1150 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1148 faqe - 1149 - 1150 >