Hipi Zhdripi i Matematikës/1149

Të vërtetojmë se ky zbërthim është i vetmi. Le të supozojmë të kundërtën - se ekzistojnë dy zbërthime të ndryshme:

\vec{a} = m_{1} {\vec{a}}_{1} + m_{2} {\vec{a}}_{2} + m_{3} {\vec{a}}_{3}, a \vec{=} n_{1} {\vec{a}}_{1} + n 2 {\vec{a}}_{2} + n_{3} {\vec{a}}_{3}

.

Nga barazia e parë zbresim të dytën, përftohet:

(m_{1} - n_{1}) {\vec{a}}_{1} + (m_{2} - n_{2}) {\vec{a}}_{2} + (m_{3} - n_{3}) {\vec{a}}_{3} = 0

.

Për vektorët jokomplanarë

{\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}

ky relacion mund të ekzistojë vetëm nëse koeficientët e atij kombinimi linear

m_{1} - n_{1}, m_{2} - n_{2}, m_{3} - n_{3}

janë të barabarta me zero. Prandaj, kemi

m_{1} - n_{1} = 0, m_{2} - n_{2} = 0, m_{3} - n_{3} = 0 \Rightarrow m_{1} = n_{1}, m_{2} = n_{2}, m_{3} = n_{3}

,

me çka plotësisht u vërtetua pohimi i teoremës.

S h e m b u l l i 8. - Le të, jetë

\vec{a} = 16 \vec{i} - 15 \vec{j} + 12 \vec{k}

. Të caktohet

\vec{b}

moduli i të cilit është

75

, bartësja paralele me bartësen e vektorit

\vec{a}

, kurse kahu i kundërt kahut të atij vektori.

Z g j i d h j e : Pra, kemi:

\vec{b} = - m \vec{a}

dhe

| - m \vec{a} | = 75

.

Meqenëse

- m \vec{a} = - 16 m \vec{i} + 15 m \vec{j} - 12 m \vec{k}

,

aplikojmë formulën (10):

\sqrt{(- 16 m)^{2} + (15 m)^{2} + (- 12 m)^{2}} = 75 \Rightarrow 25 m = 75 \Rightarrow m = 3

,

pra, vektori i kërkuar është

\vec{b} = - 48 \vec{i} + 45 \vec{j} - 36 \vec{k}

.

S h e m b u l l i 9. - Le të jenë vektorët:

{\vec{r}}_{1} = 2 \vec{i} + \vec{j} - 3 \vec{k}

,

{\vec{r}}_{2} = \vec{i} + 2 \vec{j} - \vec{k}

,

{\vec{r}}_{3} = 3 \vec{i} - \vec{j} + 2 \vec{k}

vektorë të pozitës së tri kulmeve të njëpasnjëshme

A, B, C

të një paralelogrami. Të caktohet vektori i pozitës së kulmit të katërt

D

(fig. 5.15.).

Fig. 5.15.

Z g j i d h j e : Prej fig.5.15. shohim se:

\vec{A B} = {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1}, \vec{D C} = {\vec{r}}_{3} - r_{4}

,

ku me

{\vec{r}}_{4}

kemi shënuar vektorin e pozitës së kulmit

D

. Vektorët

\vec{A D}

dhe

\vec{D C}

janë kolinearë dhe të barabartë, prandaj:

{\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1} = {\vec{r}}_{3} - {\vec{r}}_{4} \Rightarrow {\vec{r}}_{4} = {\vec{r}}_{1} + {\vec{r}}_{3} - {\vec{r}}_{2}

,

d.m.th.

{\vec{r}}_{4} = 5 \vec{i} - \vec{k} - (\vec{i} + 2 \vec{j} - \vec{k}) = 4 \vec{i} - 2 \vec{j}

.

S h e m b u l l i 10. - Le të jenë vektorët:

\vec{a} (2, 5, - 7)

,

< 1148

faqe
- 1149 -

1150 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1148

faqe
- 1149 -

1150 >