Hipi Zhdripi i Matematikës/1286

3.10. KUPTIMI I DIFERENCIALIT DHE INTERPRETIMI I TIJ GJEOMETRIK Koncepti i diferencialit të funksionit është i lidhur ngusht me konceptin e derivatit. Vërtet, nëse supozojmë se funksioni $y=f(x)$ është i derivueshëm në pikën $x$ , d.m.th., $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)$ , në bazë të formulës (44), kemi: ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)+\alpha \quad \mathrm {ose} \quad \Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x$ , (44a) ku $\alpha \rightarrow 0$ kur $\Delta x\rightarrow 0$ . Në këtë barazi shtesa e funksionit $\Delta y$ është paraqitur në formën e shumës së dy mbledhësve, ku: - mbledhësin e parë e përbën prodhimi $f'(x)\Delta x$ që është një madhësi $\mathrm {pmv}$ e rendit të njëjtë me $\Delta x$ ; kurse - mbledhësin e dytë e përbën prodhimi $\alpha \Delta x$ që është një madhësi $\mathrm {pmv}$ e rendit më të lartë se $\Delta x$ , sepse: $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\alpha \Delta x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\alpha =0$ . Mbledhësi $f(x)\Delta x$ i shtesës së funksionit $\Delta y$ quhet diferencal i funksionit dhe shënohet me $dy$ , pra: $dy=f'(x)\Delta x$ . (65) Nga kjo formulë shihet se diferenciali i funksionit është funksion i dy variablave - i argumentit $x$ dhe shtesës së tij $\Delta x$ . Kur shtesa e argumentit $\Delta x$ është madhësi $\mathrm {pmv}$ , atëherë edhe diferenciali i funksionit $dy$ është madhësi $\mathrm {pmv}$ rendit të njëjtë me $\Delta x$ , ndërkaq ndryshimi i shtesës së funksionit $\Delta y$ dhe diferencialit të tij $dy$ (d.m.th. $\Delta y-dy=\alpha \Delta x$ ) është madhësi $\mathrm {pmv}$ e rendit më të lartë se $\Delta x$ . Për këtë arsye, në aplikimet e diferencialit në njehsime të përafërta, merret se $\Delta y\thickapprox dy$ . Në rastin e përgjithshëm shtesën e argumentit $\Delta x$ , që paraqitet në formulën (44a), nuk duhet konsideruar patjetër si madhësi $\mathrm {pmv}$ , por atë duhet kuptuar si madhësi variabile vlerat e së cilës rëndom formojnë një varg $\mathrm {pmv}$ . Mu për këtë arsye kjo shtesë quhet edhe diferencial i argumentit dhe shënohet me $dx$ , pra,, $\Delta x=dx$ . Kjo është në pajtim edhe me faktin se kur $y=x$ , diferenciali i funksionit është i barabartë me diferencialin e argumentit, ndërkaq nga formula (65) marrim : $dy=(x)'\Delta x=\Delta x$ , prandaj konkludojmë se $\Delta x=dx$ . Nga këto që thamë del se formula (65) shkruhet: $dy=f(x)dx\!$ , (65a)