Hipi Zhdripi i Matematikës/1161

Pra, konkludojmë: vëllimi i paralelopipedit të ndërtuar mbi vektorët ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ , ${\vec {c}}$ përcaktohet me $V=\pm {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\\\end{vmatrix}}$ . (...28a) Kur $({\vec {a}}\times {\vec {b}}).{\vec {c}}=0$ , ku ${\vec {a}}\neq 0$ , ${\vec {b}}\neq 0$ , atëherë vektorët ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ , ${\vec {c}}$ janë komplanarë. Pra, kushti që tre vektorë të jenë komplanarë shprehet me ${\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\\\end{vmatrix}}=0$ . (...29) Për prodhimin e përzier të vektorëve vlejnë këto ligje: 1°. $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}$ , d.m.th. me permutimin ciklik të vektorëve në prodhimin e përzier, vlera e prodhimit nuk ndryshohet. Saktësia e këtij ligji rezulton nga shpjegimi gjeometrik i domethënies së prodhimit të përzier të tre vektorëve. 2°. $(m{\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}\times m{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=(a\times {\vec {b}})\cdot m{\vec {c}}=m({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}},$ d.m.th. prodhimi i përzier është veprim asociativ ndaj faktorit skalar. 3°. Ligji distributiv: $\left[({\vec {a}}_{1}+{\vec {a}}_{2})\times {\vec {b}}\right].{\vec {c}}=({\vec {a}}_{1}\times {\vec {b}}).{\vec {c}}+({\vec {a}}_{2}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$ $\left[a\times ({\vec {b}}_{1}+{\vec {b}}_{2})\right]\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}\times {\vec {b}}_{1})\cdot {\vec {c}}+({\vec {a}}\times {\vec {b}}_{2})\cdot {\vec {c}}$ , $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}_{1}+{\vec {c}}_{2})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}_{1}+({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}_{2}$ . S h e m b u l l i 20. - Të njehsohet vëllimi dhe të tri lartësitë e paralelopipedit të ndërtuar mbi vektorët ${\vec {a}}={\vec {i}}+{\vec {j}}$ , ${\vec {b}}=2{\vec {i}}+2{\vec {j}}-{\vec {k}}$ , ${\vec {c}}={\vec {i}}+3{\vec {j}}+{\vec {k}}$ . Z g j i d h j e : Duke shfrytëzuar formulën (28a) marrim $V={\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&2&-1\\1&3&1\\\end{vmatrix}}=-2$ , çka do të thotë se reperi i këtyre vektorëve majtë. Lartësitë e paralelopipedit janë $h_{1}\!=\!{\vec {\frac {({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}}{\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|}}}\!=\!{\sqrt {2}},\ \ h_{2}\!=\!{\frac {({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}}{\|{\vec {b}}\times {\vec {c}}\|}}\!=\!{\frac {\sqrt {2}}{5}},\ \ h_{3}\!=\!{\frac {\sqrt {6}}{6}}$ .