Hipi Zhdripi i Matematikës/1161

Pra, konkludojmë: vëllimi i paralelopipedit të ndërtuar mbi vektorët $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ përcaktohet me $V=\pm \left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$. (...28a)         Kur $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}=0$, ku $\overrightarrow{a}\ne 0$, $\overrightarrow{b}\ne 0$, atëherë vektorët $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ janë komplanarë. Pra, kushti që tre vektorë të jenë komplanarë shprehet me $\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0$. (...29)         Për prodhimin e përzier të vektorëve vlejnë këto ligje:         1°. $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}=(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}$, d.m.th. me permutimin ciklik të vektorëve në prodhimin e përzier, vlera e prodhimit nuk ndryshohet.         Saktësia e këtij ligji rezulton nga shpjegimi gjeometrik i domethënies së prodhimit të përzier të tre vektorëve.         2°.$(m\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\times m\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=(a\times \overrightarrow{b})\cdot m\overrightarrow{c}=m(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c},$ d.m.th. prodhimi i përzier është veprim asociativ ndaj faktorit skalar.         3°. Ligji distributiv: $[({\overrightarrow{a}}_1+{\overrightarrow{a}}_2)\times \overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}=({\overrightarrow{a}}_1\times \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}+({\overrightarrow{a}}_2\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ $[a\times ({\overrightarrow{b}}_1+{\overrightarrow{b}}_2)]\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\times {\overrightarrow{b}}_1)\cdot \overrightarrow{c}+(\overrightarrow{a}\times {\overrightarrow{b}}_2)\cdot \overrightarrow{c}$, $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot ({\overrightarrow{c}}_1+{\overrightarrow{c}}_2)=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot {\overrightarrow{c}}_1+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot {\overrightarrow{c}}_2$.        S h e m b u l l i  20. -  Të njehsohet vëllimi dhe të tri lartësitë e paralelopipedit të ndërtuar mbi vektorët $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$.        Z g j i d h j e : Duke shfrytëzuar formulën (28a) marrim $V=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 2& -1\\ 1& 3& 1\end{array}\right|=-2$, çka do të thotë se reperi i këtyre vektorëve majtë.         Lartësitë e paralelopipedit janë $h_1=\overrightarrow{\frac{(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|}}=\sqrt{2},h_2=\frac{(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}|}=\frac{\sqrt{2}}{5},h_3=\frac{\sqrt{6}}{6}$.

< 1160 faqe - 1161 - 1162 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1160 faqe - 1161 - 1162 >