- V ë r t e t i m Le të shënojmë me:
Sn  k3 dhe f(n) ![{\displaystyle {\Big [}\textstyle \mathbf {\frac {n(n+1)}{2}} {\Big ]}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec15bccddab5cdd6e21dac5e92d4ea87a2abb318) .
- Duhet të vërtetojmë se:
- Snf(n),
 n  {1, 2,.. . , n} .
(a) Baza e induksionit: Meqë S11, f(1)1, konkludojmë se S1f(1).
(b) Hapi i induksionit: Supozojmë se për nm vlen: Smf(m). Nga ky supozim del:
- d.m.th
Smf(m) Sm+1f(m + 1)
- Nga (a) dhe (b) përfundimisht konkludojmë se:
- Snf(n), n {1, 2,.. . , n} .
- S h e m b u l l i 2 - . Të vërtetohet se mbledhja dhe shumëzimi i numrave natyralë janë veprime asociative.
- V ë r t e t i m: (a) Baza e induksionit: Provojmë se janë të sakta formulat
(a+b)+ca+(b+c) dhe (ab) ca (bc)
- për c 1 dhe a,
 .
- Vërtet. në këtë rast, kemi:
-
|
(a+b)+1
|
(a+b)'
a+b';
a+(b+1) .
|
-
|
(ab)•1
|
ab
a(b•1)
|
- (b) Hapi i induksionit: Vërtetojmë se janë të sakta formulat:
(a+b)+c a+(b+c') dhe (ab)ca(bc'),
- kur janë të sakta formulat përkatëse:
(a+b)+ca+(b+c) dhe (ab) ca (bc) .
- Vërtet kemi:
-
|
(a+b)+c'
|
[(a+b)+c]';
[a+(b+c)]';
a+(b+c)'
a+(b+c)'
|
-
|
(ab)c'
|
(ab)c+ab
a(bc}+ab
a(bc+b)
a(bc').
|
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
200+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
300+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
400+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
500+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
|
![{\displaystyle {\Big [}\textstyle \mathbf {\frac {m(m+1)}{2}} {\Big ]}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9222b4832b8fbd3273a1f130ce146ec476278af)
![{\displaystyle {\Big ]}={\Big [}\textstyle \mathbf {\frac {(m+1)(m+2)}{2}} {\Big ]}^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99359808b18cc55dd7936bffada37c7341f5bc8b)