Hipi Zhdripi i Matematikës/1230

kufizat e tij. Pikërisht kjo arrihet me të ashtuquajturin kriter i përgjithshëm i Cauchyt për konvergjencën e vargut i cili pohon se: Kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që vargu $(a_{n})$ të konvergjojë është që për çdo $\varepsilon >0$ të ekzistojë një numër natyral $\mathbb {N} (=\mathbb {N} (\varepsilon ))$ i tillë që $(\forall n>\mathbb {N} )\|a_{n+p}-a_{n}\|<\varepsilon$ ^[1], $p$ - numër natyral. (5) P ë r k u f i z i m i 1.2.3. - Vargu $(a_{n})$ , limiti i të cilit është zero $(\lim _{n\to \infty }a_{n}=0)$ , quhet varg pambarimisht i vogël (shkurt shënohet: $\mathrm {pmv}$ ) ose zero-varg.[1] P.sh. $\left({\frac {1}{n}}\right)_{m=1}^{\infty }$ është një varg $\mathrm {pmv}$ . Kuptohet, çdo varg $\mathrm {pmv}$ është varg konvergjent, por e anasjellta nuk vlen. Kështu, $\left({\frac {2n-1}{5n+3}}\right)_{n=1}^{\infty }$ është varg konvergjent, por nuk është $\mathrm {pmv}$ . P ë r k u f i z i m i 1.2.4. - Varga $(a_{n})$ quhet varg pambarimishr i madh (shënohet: $\mathrm {pmm}$ ), nëse për çdo numër $m$ , sado i nzadh qoftë numri $m$ , ekziston numri natyral $\mathbb {N}$ i tillë që $(\forall n>\mathbb {N} )\|a_{n}\|>m$ . (6)[2] Ky fakt simbolikisht shënohet: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ . P.sh. $(n^{2})_{n=1}^{\infty }$ , është një varg $\mathrm {pmm}$ . Kuptohet. çdo varg $\mathrm {pmm}$ është edhe varg divergjent, por e anasjellta nuk vlen. Kështu. $(1^{n}+(-1)^{n})_{n=1}^{\infty }$ , është varg divergjent, por nuk është $\mathrm {pmm}$ . Nuk duhet ngatërruar as konceptin e vargut $\mathrm {pmm}$ me atë të vargut të pakufizuar. Çdo varg $\mathrm {pmm}$ është edhe i pakufizuar, por e kundërta ngandonjëherë nuk vlen. Kështu, $(3^{n-1}+(-3)^{n-1})_{n=1}^{\infty }$ , është varg i pakufizuar, por nuk është $\mathrm {pmm}$ . T e o r e m a 1.2.1. - Kur $(a_{n})$ është varg $\mathrm {pmm}$ , vargu $\left({\frac {1}{a^{n}}}\right)$ është $\mathrm {pmv}$ dhe anasjelltas. V ë r t e t i m Kur $(a_{n})$ është varg $\mathrm {pmm}$ , sipas përkufizimit 1.2.4., për çdo numër $m\left(={\frac {1}{\varepsilon }}\right)$ , sado i madh qoftë numri $m$ (respektivisht sado i vogël qoftë numri $\varepsilon$ ), ekzistcn numri natyral $\mathbb {N}$ i tillë që $(\forall n>\mathbb {N} )\|a_{n}\|>m\ \mathrm {ose} \ (\forall n>\mathbb {N} )\|a_{n}\|>{\frac {1}{\varepsilon }}$ Kur marrim vlerat reciproke të anëve në jobarazinë e fundit, përftojmë jobarazinë $(\forall n>\mathbb {N} )\left\|{\frac {1}{a_{n}}}\right\|<\varepsilon \ \mathrm {ose} \ (\forall n>\mathbb {N} )\left\|{\frac {1}{a_{n}}}-0\right\|<\varepsilon$ . ↑ 2) Vërtetimin e këtij kriteri mund ta gjeni në [11], fq. 95--96.