Hipi Zhdripi i Matematikës/1275

V ë r t e t i m Le të supozojmë se shtesës $\Delta t$ të parametrit $t$ i korrespondojnë shtesat: $\Delta x=x(t+\Delta t)-x(t),\ \Delta y=y(t+\Delta t)-y(t)\!$ e variablave $x$ , $y$ , ku $\Delta x\rightarrow 0\land \Delta y\rightarrow 0$ , kur $\Delta t\rightarrow 0$ . Raporti i këtyre shtesave mund të shprehet në këtë mënyrë: ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y(t+\Delta t)-y(t)}{x(t+\Delta t)-x(t)}}={\frac {\frac {y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}}$ Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\Delta x\rightarrow 0$ , përkatësisht $\Delta t\rightarrow 0$ , shprehet: $y'_{x}=\lim {\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\underset {\Delta t\to 0}{\lim }}{\frac {y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}}}{{\underset {\Delta t\to 0}{\lim }}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$ çka vërteton saktësinë e formulës (46) S h ë n i m: (1) Derivatet e variablave $x$ , $y$ sipas parametrit $t$ rëndom shënohem me $x$ dhe $y$ , pra: $x'_{t}(t)={\dot {x}},\quad y'_{t}(t)={\dot {y}}$ . (2) Derivati i funksionit të dhënë në formën parametrike (19) shënohet edhe në këtë mënyrë $y'_{x}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}$ (3) Derivati i funksionit parametrik (19) shprehet si derivat i funksionit të përbërë kur ekuacioni $x=x(t)$ zgjidhet sipas parametrit $t\!:t=t(x)$ dhe kjo vlerë zëvendësohet në ekuacionin e dytë: $y=y[t(x)]$ , prej nga marrim: $y'_{x}=y'_{t}\cdot t'_{x}$ . (46a) ku (në bazë të formulës (44)) $t'_{x}={\frac {1}{x'_{t}}}$ . Ky veprim është i mundshëm, nëse ekuacioni $x=x(t)$ mund të zgjidhet sipas $t$ dhe ekziston $t'_{x}$ . P.sh., derivati i funksionit parametrik $x=3t+1$ , $y=t^{2}+3t+5$ është: -Mënyra parë: $y'_{x}={\frac {y'_{t}(t)}{x'_{t}(t)}}={\frac {(t^{2}+3t+5)'_{t}}{(3t+1)'_{t}}}={\frac {2t+3}{3}};$ -Mënyra e dytë $y'_{x}=y'_{t}\cdot t'_{x}=(t^{2}+3t+5)'\cdot \left({\frac {x-1}{3}}\right)'={\frac {2t+3}{3}}$