Hipi Zhdripi i Matematikës/1275

V ë r t e t i m Le të supozojmë se shtesës $\mathrm{\Delta }t$ të parametrit $t$ i korrespondojnë shtesat: $\mathrm{\Delta }x=x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t),\mathrm{\Delta }y=y(t+\mathrm{\Delta }t)-y(t)$ e variablave $x$, $y$, ku $\mathrm{\Delta }x\to 0\wedge \mathrm{\Delta }y\to 0$, kur $\mathrm{\Delta }t\to 0$. Raporti i këtyre shtesave mund të shprehet në këtë mënyrë: $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y(t+\mathrm{\Delta }t)-y(t)}{x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t)}=\frac{\frac{y(t+\mathrm{\Delta }t)-y(t)}{\mathrm{\Delta }t}}{\frac{x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t)}{\mathrm{\Delta }t}}$ Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, përkatësisht $\mathrm{\Delta }t\to 0$, shprehet: $y{\text{'}}_x=lim\mathrm{\Delta }x\to 0\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{y(t+\mathrm{\Delta }t)-y(t)}{\mathrm{\Delta }t}}{\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t)}{\mathrm{\Delta }t}}=\frac{y{\text{'}}_t}{x{\text{'}}_t}$ çka vërteton saktësinë e formulës (46)         S h ë n i m: (1) Derivatet e variablave $x$, $y$ sipas parametrit $t$ rëndom shënohem me $x$ dhe $y$, pra: $x{\text{'}}_t(t)=\dot{x},y{\text{'}}_t(t)=\dot{y}$.         (2) Derivati i funksionit të dhënë në formën parametrike (19) shënohet edhe në këtë mënyrë $y{\text{'}}_x=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$         (3) Derivati i funksionit parametrik (19) shprehet si derivat i funksionit të përbërë kur ekuacioni $x=x(t)$ zgjidhet sipas parametrit $t:t=t(x)$ dhe kjo vlerë zëvendësohet në ekuacionin e dytë: $y=y[t(x)]$, prej nga marrim: $y{\text{'}}_x=y{\text{'}}_t\cdot t{\text{'}}_x$. (46a) ku (në bazë të formulës (44)) $t{\text{'}}_x=\frac{1}{x{\text{'}}_t}$. Ky veprim është i mundshëm, nëse ekuacioni $x=x(t)$ mund të zgjidhet sipas $t$ dhe ekziston $t{\text{'}}_x$.         P.sh., derivati i funksionit parametrik $x=3t+1$, $y=t^2+3t+5$ është:         -Mënyra parë:$y{\text{'}}_x=\frac{y{\text{'}}_t(t)}{x{\text{'}}_t(t)}=\frac{(t^2+3t+5){\text{'}}_t}{(3t+1){\text{'}}_t}=\frac{2t+3}{3};$         -Mënyra e dytë $y{\text{'}}_x=y{\text{'}}_t\cdot t{\text{'}}_x=(t^2+3t+5{)}^{\prime }\cdot {\left(\frac{x-1}{3}\right)}^{\prime }=\frac{2t+3}{3}$

< 1274 faqe - 1275 - 1276 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1274 faqe - 1275 - 1276 >