Hipi Zhdripi i Matematikës/1148

Pra, vërtet, vektori

\vec{a}

është zbërthyer në komponente kolineare me vektorët

{\vec{a}}_{1}

dhe

{\vec{a}}_{2}

.

Tani duhet vërtetuar se ky zbërthim i vektorit

\vec{a}

është i vetmi. Le të supozojmë të kundërtën, se ekzistojnë dy zbërthime:

\vec{a} = m_{1} {\vec{a}}_{1} + m_{2} {\vec{a}}_{2}, \vec{a} = n_{1} {\vec{a}}_{1} + n_{2} {\vec{a}}_{2}

.

Nga barazia e parë zbresim të dytën, përftojmë:

(m_{1} - n_{1}) {\vec{a}}_{1} + (m_{2} - n_{2}) {\vec{a}}_{2} = 0

.

Për vektorët jokolinearë

{\vec{a}}_{1}

,

{\vec{a}}_{2}

ky relacion mund të ekzistojë vetëm nëse koeficientët e kombinimit përkatës linear

m_{1} - n_{1}

dhe

m_{2} - n_{2}

janë të barabarta me zero. Prandaj, kemi

m_{1} - n_{1} = 0, m_{2} - n_{2} = 0 \Rightarrow m_{1} = n_{1}, m_{2} = n_{2},

me çka në tërësi u vërtetua pohimi i teoremës.

T e o r e m a 3.3.2. - Çdo vektor

\vec{a}

në hapësirë mund të zbërthehet në mënyrë të vetme në komponente kolineare me vektorët e reperit

({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3})

.

Fig. 5.14.

V ë r t e t i m: Edhe në këtë rast së pari zhvendosen vektorët

\vec{a}, {\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}

në pozitë me origjinë të përbashkët

0

(fig. 5.14):

\vec{0 A} = \vec{a}, \vec{0 A_{1}} = {\vec{a}}_{1}

,

\vec{0 A_{2}} = {\vec{a}}_{2}, \vec{0 A_{3}} = {\vec{a}}_{3}

.

Nga pika

A

tërheqim drejtëzën

A P ‖ 0 A_{3}

,, ku pika

P

i përket planit

A_{1} 0 A_{2}

. Prej pikës

P

e tërheqim drejtëzën

P Q ‖ 0 A_{2}

, ku pika

Q

i përket drejtëzës

0 A

. Nga vija poligonale

0 Q P A

kemi:

\vec{0 A} = \vec{0 Q} + \vec{Q P} + \vec{P A}

.

Vektorët

\vec{0 Q}

,

\vec{Q P}

dhe

\vec{P A}

jane kolinearë me vektorët

{\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}

, çka do të thotë se ekzistojnë tre skalarë

m_{1}, m_{2}, m_{3}

, ashtu që:

\vec{0 Q} = m_{1} {\vec{a}}_{1}, \vec{Q P} = m_{2} {\vec{a}}_{2}, \vec{P A} = m_{3} {\vec{a}}_{3}

.

Këto i zëvendësojmë në relacionin e mëparshëm:

\vec{a} = m_{1} {\vec{a}}_{1} + m_{2} {\vec{a}}_{2} + m_{3} {\vec{a}}_{3}

.

Pra, vërtet vektori

\vec{a}

është zbërthyer në komponente kolineare me vektorët e reperit

({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3})

.

< 1147

faqe
- 1148 -

1149 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1147

faqe
- 1148 -

1149 >