KAPITULLI I DYTË
NUMRAT REALË
1. NUMRAT NATYRALË
- Në ndërtimin aksiomatik të teorisë së numrave natyralë bazohemi në konceptin intuitiv të bashkësisë, ku objekti themelor i teorisë merret „numri natyral", kurse raporti themelor ndërmjet numrave natyralë merret relacioni ,,vjen drejtpërdrejt pas" (,,pason"), i cili në mënyrë indirekte përkufizohet me aksiomat. Përputhjen e dy elementeve a, b e shënojmë me simbolin e barazisë „
 " (ab), kurse mospërputhjen e tyre me simbolin „  " (ab). Me a' e shënojmë numrin që vjen drejtpërdrejt pas numrit a, kurse me 1 njëshin e bashkësisë.
- P ë r k u f i z i m i 1.1. - Numra natyralë quhen elementet e çdo bashkësie jo të zbrazët
 në të cilën është përcaktuar relacioni „vjen drejtpërdrejt pas" që plotëson këto aksioma[1]
- A k s i o m a 1.1. - Ekziston numri natyral 1 i cili nuk vjen drejtpërdrejt pas asnjë numri natyral, pra:
( a  ) a' 1.
- A k s i o m a 1.2. - Për secilin numër natyral a , ekziston vetëm një numër natyral a' që vjen drejtpërdrejt pas tij, pra:
(a, b)ab a'b'.
- A k s i o m a 1.3. - Secili numër natyral a' vjen drejtpërdrejt pas jo më shumë se një numri natyral a , pra:
('a', b')a'b'ab.
- A k s i o m a Cilado bashkësi e numrave natyralë M që ka këto veti:
(a) 1 M dhe (b) a M a' M
- përmban të gjithë numrat natyralë (e induksionit) - 1.4., pra:
| 1M
|
 M
|
| aM a'M
|
- ↑ 1) Aksiomat që vijojnë quhen aksiomat e Peanos, sipas emrit të matematikanit të shquar italian G. Peano (1858-1931) i cili më 1899 aksiomatizoi aritmetikën e numrave realë.
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
200+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
300+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
400+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
500+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
|
