Hipi Zhdripi i Matematikës/1100

Në përgjithësi, matricës së rendit

nA=[a_{ik}]_{1}^{n}

i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin

\det A=\Sigma (-1)^{p}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\ldots a_{np_{n}}

, (26)

(ku

p_{1}p_{2}\ldots p_{n}

paraqet një permutacion prej elementeve

1,2,\ldots ,n

, kurse

p

shënon numrin e inversioneve^[1] të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit $n$ . Në formulën (26) mbledhësit

(-1)^{p}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\ldots a_{np_{n}}

quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit

n

ka gjithsej

n!

kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej

n

faktorëve - elementeve -, ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë.

5.2. VETITË E PËRCAKTORËVE

Në bazë të relacioneve përkufizuese (24), (25) të përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë, me njehsime të drejtpërdrejta mund të provohen këto veti të përcaktorëve:

(a₁)	$\det A'=\det A\,\!$
(a₂)	${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$	$=-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{11}&a_{12}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{11}\\a_{22}&a_{21}\end{vmatrix}}$
(a₃)	$\alpha {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$	$={\begin{vmatrix}\alpha a_{11}&\alpha a_{12}\\\;a_{21}&\;a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\;a_{11}&\;a_{12}\\\alpha a_{21}&\alpha a_{22}\end{vmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}\alpha a_{11}&a_{12}\\\alpha a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&\alpha a_{12}\\a_{21}&\alpha a_{22}\end{vmatrix}}$
(a₄)	${\begin{vmatrix}\;a_{11}&\;a_{12}\\\alpha a_{21}&\alpha a_{22}\end{vmatrix}}$	$=0\;,{\begin{vmatrix}a_{11}&\alpha a_{12}\\a_{21}&\alpha a_{22}\end{vmatrix}}=0;$
(a₅)	${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}+a\\a_{21}&a_{22}+b\end{vmatrix}}$	$={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a\\a_{21}&b\end{vmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}\qquad a_{11}&\qquad a_{12}\\a_{21}+a&a_{22}+b\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\\;a&\;b\end{vmatrix}}$
(a₆)	${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$	$={\begin{vmatrix}\qquad a_{11}&\qquad a_{12}\\a_{21}+\alpha a_{11}&a_{22}+\alpha a_{12}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}+\alpha a_{21}&a_{12}+\alpha a_{22}\\\qquad a_{21}&\qquad a_{22}\end{vmatrix}}$ $={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}+\alpha a_{11}\\a_{21}&a_{22}+\alpha a_{21}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}+\alpha a_{12}&a_{12}\\a_{21}+\alpha a_{22}&a_{22}\end{vmatrix}}$
(a₇)	Nëse $A=[a_{ik}]_{1}^{n},B=[b_{ik}]_{1}^{n}(n=2\vee 3)$ atëherë $\det(AB)=(\det A)(\det B)\,$ .