Hipi Zhdripi i Matematikës/1278

Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\Delta x\rightarrow 0$, është: ${\begin{aligned}y'&=(\log _{a}x)'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{x/\Delta x}=\\&={\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}\left[\lim _{\Delta x\to 0}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{x/\Delta x}\right]={\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}e\end{aligned}}$         Pra, konkludojmë: $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x}}\log _{a}e$.         S h ë n i m: Deri te formula (50) mund të vijmë edhe duke shfrytëzuar formulën (45) për derivatin e funksionit invers. Vërtet, pasi funksioni invers i funksionit logaritmik $y=\log _{a}x$ është funksioni eksponencial $y=a^{x}$, andaj marrim: $y'{\frac {1}{(a^{y})'_{y}}}={\frac {1}{a^{y}\ln a}}={\frac {1}{x\ln a}}={\frac {1}{x}}\log _{a}e,$ meqenëse: $a^{y}=a^{\log x}=x$ dhe $\ln a\cdot \log _{a}e=1$.         Kur $a=e$, formula (50) merrë trajtën: $(\ln x)'={\frac {1}{x}}$. (51)         Kur në formulat (50) dhe (5 1) argumentin e trajtojmë si argument ndërmjetës dhe e shënojmë me $u$, përftohet: $(\log _{a}u)'={\frac {u'}{u}}\log _{a}e$ (50a) dhe $(\ln u)'={\frac {u'}{u}}$. (51 a)        S h e m b u l l i  38. -  Derivati i funksionit $y=\log _{a}(x^{2}+1)$ është: $y'=\left[\log _{a}(x^{2}+1)\right]'={\frac {(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}}\log _{a}e={\frac {2x}{x^{2}+1}}\log _{a}e$.        T e o r e m a  3.6.3. - Derivati i funksionit fuqi $y=x^{a},\ a\in \mathbb {R}$ është i barabartë me $ax^{a-1}$, pra: $(x^{a})'=ax^{a-_{1}},\ a\in \mathbb {R}$. (52)        V ë r t e t i m Këte formulë kemi vërtetuar për $a\in \mathbb {N}$ (formula (39a)). Tani do të tregojmë se ajo vlen edhe kur eksponenti i fuqisë është çfarëdo një numër real.         Le të supozojmë se $x>0$. Logaritmojmë dhe pastaj derivojmë funksionin e dhënë. $\ln y=a\ln x\Rightarrow {\frac {y'}{y}}=a{\frac {1}{x}}\ \mathrm {ose} \ y'={\frac {a}{x}}y$. Kur zëvendësojmë $y=x^{a}$ del: $y'={\frac {a}{x}}x^{a}=ax^{a-1}$.

< 1277 faqe - 1278 - 1279 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1277 faqe - 1278 - 1279 >