Hipi Zhdripi i Matematikës/1155

Për prodhimin vektorial të vektorëve vlejnë këto ligje:         1°. Ligji antikomutativ: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}})$;         2°. Ligji asociativ ndaj faktorit skalar: $m{\vec {a}}\times {\vec {b}}=m({\vec {a}}\times {\vec {b}}),m{\vec {a}}\times n{\vec {b}}=mn({\vec {a}}\times {\vec {b}})$;         3°. Ligji distributiv: $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}$.         Ligji antikomutativ i prodhimit vektorial të dy vektorëve rrjedh drejtpërsëdrejti nga vetë përkufizimi i këtij veprimi.         Ligji asociativ ndaj faktorit skalar vërtetohet kështu:         Saktësinë e formulës $m{\vec {a}}\times {\vec {b}}=m({\vec {a}}\times {\vec {b}})$ e provojmë duke konstatuar se:         1°. Syprinat e paralelogrameve që i përgjigjen prodhimeve vektoriale që paraqesin anët e kësaj formule janë të barabarta;         2°. Vektorët $m{\vec {a}}\times {\vec {b}}$ dhe $m({\vec {a}}\times {\vec {b}})$ janë kolinearë dhe         3°. Reperet $({\vec {a}},{\vec {b}},m{\vec {a}}\times {\vec {b}})$, $({\vec {a}},{\vec {b}},m({\vec {a}}\times {\vec {b}}))$ kanë orientime të njëjta.         Duke pasur parasysh këto të dhëna, konkludojmë se është e saktë formula e paraqitur.         Vërtetimi i ligjit distributiv është diçka më i komplikuar. Së pari vërtetojmë rastin kur vektori i tretë është vektor njësh: $({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}_{0}={\vec {a}}\times {\vec {c}}_{0}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}_{0}$.         Veprojmë kështu:         Vektorët ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}_{0}$, i zhvendosim në pozitë siç janë paragitur në fig. 5.19. Marrim planin $\alpha$ që kalon nëpër origjinën $0$ e ortit ${\vec {c}}_{0}$ dhe $\alpha \perp {\vec {c}}_{0}$. Fig. 5.19

< 1154 faqe - 1155 - 1156 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1154 faqe - 1155 - 1156 >