Hipi Zhdripi i Matematikës/1126

2°. Kur $r<n$ (d.m.th. kur $r(A)<n$ ), sistemi i ekuacioneve lineare është i mundshëm, por i pacaktuar dhe ai sistem, respektivisht sistemi (44b), mund të shprehet në formën: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1r}x_{r}=b_{1}-a_{1,r+1}x_{r+1}-&\cdots &-a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2r}x_{r}=b_{2}-a_{2,r+1}x_{r+1}-&\cdots &-a_{2n}x_{n}\\&\vdots &\\a_{r1}x_{1}+a_{r2}x_{2}+\cdots +a_{rr}x_{r}=b_{r}-a_{r,r+1}x_{r+1}-&\cdots &-a_{rn}x_{n}\\\end{matrix}}$ Zgjidhja ( $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{r}$ ) e këtij sistemi të ekuacioneve lineare varet nga të panjohurat $x_{r+1},x_{r+2},\ldots ,x_{n}$ të cilat konsiderohen si parametra. Pra, në këtë rast sistemi i ekuacioneve lineare (44) ka pafund shumë zgjidhjesh. Kur në sistemin e ekuacioneve lineare (44) të gjitha kufizat e lira janë të barabarta me zero ( $b_{i}=0,\ i=1,2,\ldots ,m$ ), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve lineare homogjene: $\sum _{k=1}^{n}a_{ik}x_{k}=0\ (i=1,2,\ldots .m)$ .(...46) Ky sistem ekuacionesh lineare homogjene ka vetëm zgjidhjen triviale $x_{1}=0,\ x_{2}=0,\ldots ,\ x_{n}=0$ , nëse $r(A)=n$ . Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene (46) ka, përveç zgjidhjes triviale, edhe pa fund shumë zgjidhjesh tjera, nëse $r(A)<n$ . S h e m b u l l i 20. - Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve: ${\begin{matrix}3x_{1}&-&5x_{2}&+&2x_{3}&+&4x_{4}&=&2\\7x_{1}&-&4x_{2}&+&\ x_{3}&+&3x_{4}&=&5\\5x_{1}&+&7x_{2}&-&4x_{3}&-&3x_{4}&=&3\\\end{matrix}}$ Z g j i d h j e : Këtu $r(A)=2,r(B)=3$ , prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i pamundshëm. S h e m b u l l i 21. - Të shgyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve: ${\begin{matrix}3x_{1}&-&2x_{2}&+&\ x_{3}&=&3\\2x_{1}&-&3x_{2}&+&\ x_{3}&=&0\\\ x_{1}&+&\ x_{2}&-&2x_{3}&=&5\\-x_{1}&+&2x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\\end{matrix}}$ Z g j i d h j e : Këtu $r(A)=r(B)=3$ , prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i mundshëm dhe është ekuivalett me këtë sistem ekuacionesh: ${\begin{matrix}3x_{1}&-&2x_{2}&+&\ x_{3}&=&3\\2x_{1}&-&3x_{2}&+&\ x_{3}&=&0\\\ x_{1}&+&\ x_{2}&-&2x_{3}&=&5\\\end{matrix}}$