Përdoruesi:Hipi Zhdripi/shkresa për punë/3/2

Nga Wikibooks
Jump to navigation Jump to search

0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|18|20|22|

20[redakto]

20[redakto]

        (a4)
A(BC)(AB}(AC)
A(BC)(AB}(AC)
  (ligji distributiv)
        (a5)
A(BC)(AB}(AC),
A(BC)(AB}(AC),
  (ligji distributiv)


       P ë r k u f i z i m i  2.2.3. - Diferenca e bashkësive A, B quhet bashkësia e elementeue të bashkësisë A që nuk janë në bashkësinë B(fig. 1.4.), pra :
A\BBarazpër.PNG{xxAXB}.


       Simboli \ (lexo: | diferenca=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] ose | pa=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]) është shenja e veprimit në fjalë.


       P.sh.: \, \, \, {1, 3, 5, 7}\{2, 3, 4, 5}{ 1, 7}.


       Në bazë të përkufizimit 2.2.3 del se A\A dhe A\A, për çdo bashkësi A.
  Diferenca e bashkësive AB.PNG
Fig. 1.4.
Komplementi i bashkësis B(A).PNG
Fig. 1.5


       Kur BNën.PNGC, atëherë A\Bquhet | komplement=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] i bashkësisë Bndaj bashkësisë Adhe shënohet CABose B'(fig. 1.5.).


       P.sh.: \{xxx<0}.


       Relacioni (A')'Ashpreh ligjin e | involucionit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].
       S h e m b u l l i  11. - Të vërtetohen relacionet:
(AB)'A'B'dhe (AB)'A'B'
që paragesin ligjet e | De Morganit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].


       V ë r t e t i m : Të vërtetojmë relacionin e parë. Vërtetimi bëhet sipas skemës:
       (1) vërtetohet se (AB)'Inkluzion.PNGA'B';
       (2) vërtetohet se A'B'Inkluzion.PNG(AB)'; dhe
       (3) nxirret konkludirni se (AB)'A'B'.
       (1) vërtetimi i inkluzionit (AB)'Inkluzion.PNGA'B'.


< 1
faqe
- 2 -

3 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1
faqe
- 2 -

3 >


21[redakto]

       Le të supozojmë se x është cilido një element i bashkësisë (AB)', atëherë marrim këto implikacione:
x(AB)'xABxAxBxA'xB'xA'B'.


       Meqë, implikacioni x(AB'xA'B'vlen për secilin element të bashkësisë (AB)', respektivisht
(x(AB)')x(AB'xA'B'.
konkludojmë se (AB)'Inkluzion.PNGA'B'.


       (2) | Vërtetimi i inkluzionit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] A'B'Inkluzion.PNG(AB)':


       Le të supozojmë tani se yështë cilido një element i bashkësisë A'B', atëherë kemi këto implikacione:
yA'B'yA'yB'yAyByABy(AB)'.


       Meqë edhe këtu implikacioni yA, B'y(AB)'vlen për secilin element të bashkësisë A'B'respektivisht :
(yA'B') yA'B'y(AB)',
konkludojmë se A'B'Inkluzion.PNG(AB)'.


       (3) Nga inkluzionet të vërtetuara nën (1) dhe (2) dhe në bazë të përkufizimit 2.1 .3. :
(AB)'Inkluzion.PNGA'B' (AB)'A'B',
A'B'Inkluzion.PNG(AB)'


[[Figura:Diferenca simetrke AB.PNG|right}}
Fig. 1.6.
konkludojmë se është i saktë relacioni që shpreh ligjin e parë të | De Morganit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Në mënyrë analoge bëhet vërtetimi i ligjit të dytë [1].


       Le të jenë A, Bdy bashkësi çfarëdo. Unioni i diferencave A\Bdhe B .Aquhet | diferenca simetrike=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] e tyre dhe shënohet AB(lexo : A diferenca simetrike B) (Fig. 1 .6.), pra :
AB(A\B)(B\A). (...16)


       P.sh. : {a, b, c}{b, d, e, f}{a, b, c}\{b, d, e, f }{b, d, e, f }\{a, b, c}{a, c}{d, e, f }{a, c, d, e, f} .


       Pra, diferenca simetrike e bashkësive A, Bquhet bashkësia e elementeve jo të përbashkëta të tyre.

  1. Vërtetimi i ligjeve të De Morganit shkurtohet nëse në vend tëpërdoret. Provo!

< 1
faqe
- 2 -

3 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1
faqe
- 2 -

3 >

22[redakto]

2.2.1. DYSHJA E RENDITUR DHE PRODHIMI KARTEZIEN I BASHKESIVE
       Bashkësinë prej dy elementeve a, bmund ta formojmë duke shkruar {a, b} ose {b, a} , sepse rendi i numërimit të elementeve nuk e cilëson bashkësinë, por vetëm përbërja e saj. Prandaj:
(a, b):{a, b}{b, a}.


       Ndërkaq, (a, b)quhet | dyshja e renditur=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (rregulluar), ku aështë elementi i parë, e bi dytë, andaj
(a, b)(b, a), nëse ab.


       Relacioni përkufizues i barazisë së dy dysheve të renditura (a, b), (c, d)është :
(a, b)(c, d)Barazpër.PNGacbd.(...17)


       Në mënyrë analoge përkufizohet edhe treshi i renditur (a, b, c).


       P ë r k u f i z i m i  2.2.3.1 - Prodhimi kartezian [1] i bashkësive A, B quhet bashkësia e dysheve të renditura (a, b) me vetinë aA, bB, pra
ABBarazpër.PNG{(a, b)aA, bB}.(...18)


       P.sh.: {a, b, c}{c, d}{(a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d)} .
       Prodhimi AAquhet | katrori kartezian=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (ose | katrori i Dekartit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]) dhe shënohet me A2 , pra :
A2{(a, b)a, bA}.(...19)


       Në paraqitjen e grafit të prodhimit kartezian ABnë sistemin koordinativ xOyelementet e tij (a, b)trajtohen si pika, ku aquhet | abshisa=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], kurse b| ordinata=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] e pikës. Kështu p.sh.:


       (1) Në sistemin koordinativ xOy(fig. 1 .7.) pikat e zeza paraqesin grafin e prodhimit kartezian {1, 2, 3}{2, 3, 4, 5} ; ndërsa
       (2) Në sistemin koordinativ xOy(fig. 1 .8.) fusha e hijesuar paraqet grafin e prodhimit kartezian të bashkësive A{xa<x<b} dhe B{yc<y<d}.


       Prodhimi kartezian i tri bashkësive A, B, Cpërkufizohet me këtë relacion :
ABCBarazpër.PNG{(a, b, c)aA, bB, cC}.(...20)


       Prodhimi kartezian i nbashkësive A1, A2, A3, . . ., An shënohet me simbolin Ak (lexo : pi Ak, k prej 1 deri në n), pra :
A1A1A3. . .AnAk.

  1. 12) Prodhimi kartezian quhet edhe prodhim i kombinuar ose prodhim i Dekartit, sipas emrit të matematikanit të shquar francez Rene Descartes (1596-1650).

< 1
faqe
- 2 -

3 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1
faqe
- 2 -

3 >

23[redakto]

       S h e m b u l l i  12. - Të vërtetohet relacioni
A(BC)(AB)(AC)
që shpreh ligjin distributiv të prodhimit kartezian ndaj unionit.
 
colspan="2"Ligji distributiv i prodhimit kartezian ndaj unionit.PNG
Fig. 1.7.
Fig. 1.7.


       V ë r t e t i m : Skema e vërtetimit:


       (1) Vërtetohet se A(BC)Inkluzion.PNG(AB)(AC),


       (2) Vërtetohet se (AB)(AC)Inkluzion.PNGA(BC);dhe


       (3) Nxirret konkluzioni se A(BC)(AB)(AC).


       Le të supozojmë se (a, b)është cilido element i bashkësisë A(BC), nga marrim këto ekuivalenca:
(a, b)A(BC)
(aA, bBC)
{aA, bBbC)
(aA, bB)(aA, bC)
(a, b)AB(a, b)AC
(a, b)(AB)(AC).


       Meqë ekuivalenca
(a, b)A(BC)(a, b)(AB)(AC)
vlen për secilën dyshe të renditur të bashkësisë A(BC), pra :
((a, b)A(BC)) (a, b)A(BC}(a, b)(AB)(AC)
konkludojmë se janë të sakta inkluzionet (1) dhe (2). Nga këto inkluzione, e në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim se
A(BC)(AB)(AC),
çka duhej të vërtetohej .


< 1
faqe
- 2 -

3 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1
faqe
- 2 -

3 >

24[redakto]

3. RELACIONET


       Në matematikë shpesh hasim në formula që shfaqin | raporte=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], | lidhshmëri=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], | marrëdhënie=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] ndërmjet elementeve të një bashkësie ose të dy e më shumë bashkësive të ndryshme. Formula të atilla quhen | relacione=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Në përgjithësi relacioni ndërmjet dy elementeve a, brëndom shënohet me (a, b)ρose me aρb(lexo : a është në relacion ρ me b). Kuptohet, për relacione të posaçme përdoren edhe simbole të posaçme. Për shembull:


        - Në bashkësitë numerike për | barazinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] përdoret simboli (ab),për | është më i madh =[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli > (a > b), për | është më i vogël=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli < (a < b), për | plotpjesëtueshmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli (ab), për | thjeshtësinë relative të dy numrave të plotë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli (a, b)1etj.;
        - Në bashkësitë e objekteve gjeometrike për | paralelshmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] përdoret simboli (pq), për | normalësinë reciproke=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli (pq), për | kongruencën=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (| përputhshmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]) simboli (F1F2), për | ngjashmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli (F1 F2)etj.;
        - Në bashkësitë e çfarëdoshme për | përkatshmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] përdoret simboli (aA), për | inkluzionet=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboletInkluzion.PNG, Inkluzion sinonim.PNG, Nën.PNG, Nuknën.PNGetj.
3.1. RELACIONET BINARE DHE VETITË E TYRE
       Kur me relacionin ρ shfaqen raporte ndërmjet dy nga dy elementeve të të njëjtës bashkësi, relacioni i tillë quhet relacion binar.
       P ë r k u f i z i m i  3.1.1. - Në bashkësinë jo të zbrazët A është përkufizuar relacioni binar ρ në qoftë se për çdo dy elemente a, b A është përcaktuar njëra nga vetitë : (1) aρb ose (2) ab (lexo : a nuk është në relacion ρ me b) .
       Meqë relacioni binar ρ në bashkësinë Ae lidh dy nga dy elemente të A - së, andaj ai përkufizohet edhe si nënbashkësi e katrorit kartezian A2 , pra :
       | Relacion binar ρ quhet çdo nënbashkësi e A2Inkluzion.PNGA2) =[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].
       Vetitë më të rëndësishme të relacioneve binare janë : | refleksiviteti=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], | simetria=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] dhe | transitiviteti=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] .
       P ë r k u f i z i m i  3.1.2. - Relacioni binar ρ A është relacion refleksiv, nëse secili element i A-së është në relacionin ρ me vetvetën, pra :
(aA) aρa. (...21)


       Relacioni binar ρ në Aështë relacion jo refleksiv, nëse
(aA) aa.(...22)


       Për shembull :
        - Relacioni i plotpjesëtueshmërisë () në bashkësinëështë relacion refleksiv, sepse (n) nn;
        - Relacioni i barazisë () në bashkësinëështë relacion refleksiv, sepse (xR) xx;
        - Relacioni binar është normal () në bashkësinë e drejtëzave Dështë relacion jo refleksiv, sepse (pD) p p.


< 1
faqe
- 2 -

3 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1
faqe
- 2 -

3 >

25[redakto]

       P ë r k u f i z i m i  3.1.3. - Relacioni binar ρ A është relacion simetrik, nëse nga raporti a ρ b rrjedh b ρ a, pra:
(a, bA) a ρ bb ρ a(..23)


       Relacioni binar ρ në Aështë | asimetrik=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], nëse
(a, bA) aρbbρaab.(...24)


       Për shembull:
        - Relacioni i paralelshmërisë () në bashkësinë e planeve Sështë relacion simetrik, sepse
(α, βS) αββα
        - Relacioni i thjeshtësisë relative të dy numrave nëështë relacion simetrik, sepse
(m, n) (m, n)1(n, m)1;
        - Relacioni binar nuk është më i madh (Mavogëlbarabart.PNG) nëështë antisimetrik, sepse
(x, y) xMavogëlbarabart.PNGyyMavogëlbarabart.PNGxxy.


       P ë r k u f i z i m i  3.1.4. - Relacioni binar ρ A është relacion transitiv, nëse nga raportet aρb, bρc rrjedh aρc, pra:
(a, b, cA) aρbbρcaρc. (...5)


       Relacioni binai ρ në Aështë | relacion intransitiv=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], nëse
(a, b, cA) a ρ bb ρ ca ρ c.(...6)


       Për shembull :
        - Relacioni i ngjashmërisë () në bashkësinë e figurave gjeometrike Fështë relacion transitiv, sepse
(F1, F2, F3F) F1F2F2 F3F1 F3;
        - Relacioni binar është më i madh (>) në R, është relacion transitiv, sepse
(x, y, zR) x>yy>Zx>z;
        - Relacioni binar është normal () në bashkësinë e drejtëzave Dështë relacion intransitiv, sepse
(p, q, rD) pqqrpr.


3.2. RELACIONI I EKUIVALENCËS
       P ë r k u f i z i m i  3.2.1. - Relacion binar ρ A quhet relacion i ekuivalencës, nëse është refleksiv, simetrik dhe transitiv.
       Relacionet e ekuivalencës luajnë një rol të rëndësishëm në matematikë dhe shënohen me një simbol të përbashkët . Relacione më të rëndësishme të ekuivalencës janë : barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria.


< 1
faqe
- 2 -

3 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1
faqe
- 2 -

3 >

26[redakto]

       Relacioni i ekuivalencës i përkufizuar në bashkësinë Ae zbërthen atë në nënbashkësi që quhen | klaset e ekuivalencës=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Kështu, nëse aA, atëhetë elementet e bashkësisë Aqë janë ekuivalent me elementin a(d.m.th. xA xa)formojnë nënbashkësinë
Ca{xxAxa},(...27)
e cila quhet klasa e ekuivalencës me përfaqësuesin a.
       Kur bashkësia A, lidhur me ekuivalencën , zbërthehet në klasa, atëherë:
       (a1) Çdo element i bashkësisë Ai përket një klase;
       (a2) Asnjë element nuk u përket dy klasave të ndryshme; dhe
       (a3) Unioni i të gjitha klasave është i barabartë me bashkësinë A.
       Pra konkludojmë se klasat e ekuivalencës janë disjunkte ndërmjet tyre.
       T e o r e m a  3.2.1. - Çdo ekuivalencë në bashkësinë Ae përkufzon një zbërthim të A - së në klasa të ekuivalencës dhe e anasjellta, çdo zbërthim të bashkësisë Anë klasa të ekuivalencës e përkufzon një relacion të ekuivalencës në bashkësinë A.
       V ë r t e t i m : a) Le të supozojmë të kundërtën - se dy klasa të ndryshme Ca, Cb nuk janë disjunkte : CaCb . Atëherë del se :
(cA) cCacCb ,
nga marrim
accbab,
meqë relacioni është transitiv.
       Tani, në bazë të formulës së përftuar ab, mund të provojmë se CaInkluzion.PNGCb dhe CbInkluzion.PNGCa . Vërtet:
       (1) (xCa) xa, andaj kemi:
xaabxbxCb ,
çka, sipas përkufizimit 2.1.1., del se CaInkluzion.PNGCb ;
       (2) (yCb) yb, andaj:
ybbayayCa ,
d.m.th. CbInkluzion.PNGCa .
       Në fund, në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim :
CaInkluzion.PNGCbCbInkluzion.PNGCaCaCb .
       Pra, nga supozimi CaCb del se klasat e ekuivalencës Ca, Cb nuk janë të ndryshme (CaCb), andaj konkludojmë se pohimi i parë i teoremës është i saktë.
       b) Për të vërtetuar pohimin e anasjelltë supozojmë se Ca, Cb, Cc...paraqet një zbërthim çfarëdo të bashkësisë Anë klasa të ekuivalencës ... Në bashkësinë Ae përkufizojmë relacionin binar ρ në këtë mënyrë : Për elementet
(x, yA) x ρ y(!Ct, x, yCt).


< 1
faqe
- 2 -

3 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1
faqe
- 2 -

3 >

27[redakto]

       Relacioni binar ρ, i përkufizuar në këtë mënyrë, është relacion i ekuivalencës, sepse është
       (i) | Refleksiv=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] : (xA) x ρ x,sepse çdo x (A)i përket njërës klasë të ekuivalencës Ca, Cb, Cc, ...;
       (ii) | Simetrik=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] : Ngase kur x ρ y, atëherë edhe y ρ x, meqë kur elementet e dyshes (x, y)i përkasin njërës klasë Ca, Cb, Cc, ..., asaj klase i përkasin edhe elementet e dyshes (y, x); dhe
       (iii) | Transitiv=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] : Nga se kur x ρ ydhe y ρ z, atëherë edhe x ρ z, meqë kur elementet e dysheve (x, y)dhe (y, z)i përkasin njërës klasë të ekuivalencës, asaj klase u përkasin edhe elementet e dyshes (x, z).
       Bashkësia e klasave të ekuivalencës shënohet me
A/{CaaA} (...28)
dhe quhet | faktor - bashkësi=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] e bashkësisë Anë lidhje me ekuivalencën
       S h e m b u l l i  13. - Në bashkësinë e zgjeruar të numrave, natyralë 0({0})është përkufizuar relacioni binar ρ me :
a ρ bamq1 + rbmq2 + r, ku 0Mavogëlbarabart.PNGr<m
i cili mund të shprehet edhe kështu :
a ρ b(a - b)m.
       Meqë:
       (1) (a0) a ρ aose (a - a)m;
       (2) (a, b0) a ρ bb ρ aose (a - b)m(b - a)m;
       (3) (a, b, c0) (a ρ bb ρ c)a ρ cose (a - b)m(b - c)m(a - c)m,
konkludojmë se ρ është relacion i ekuivalencës. Ky relacion quhet | relacion i kongruencës=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] sipas modulit mdhe shënohet me ab (mod m).
       Me relacionin e kongruencës sipas modulit mbashkësia0zbërthehet në këto mklasa të ekuivalencës :
Cr{nn0nmq + rq0} , r0, 1, 2, ..., m - 1
ku secila klasë karakterizohet me vlerën e mbetjes r. Pra, klasën Cr e përbëjnë të gjithë numrat natyralë të cilët kur pjesëtohen me mjapin mbetjen r, andaj Cr quhet edhe klasa e mbetjes r.
       Të konkludojmë : bashkësia0në lidhje me relacionin e kongruencës sipas modulit mzbërthehet në mklasa : në klasën e mbetjes 0, në klasën e mbetjes 1, ..., në klasën e mbetjes m - 1. Klasat C0, C1, C2, ..., Cm - 1 ngandonjëherë shënohen me : (0), (1), (2), ..., (m - 1).
       Për m3kemi këto tri klasa:
        (bl) C0{nn0n3qq