Hipi Zhdripi i Matematikës/1163

Koeficientet skalare $m$ dhe $n$ i përcaktojmë në këtë mënyrë:         Në planin e vektorëve ${\vec {b}}$, ${\vec {c}}$ e marrim vektorin njësh ${\vec {e}}$ i tillë që ${\vec {e}}\perp {\vec {c}}$ (fig. 5.21.). Kur relacionin (30) e shumëzojmë në mënyrë skalare me yektorin njësh e marrim $\left[a\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\right]\cdot {\vec {e}}=m({\vec {b}}\cdot {\vec {e}})$, ($\divideontimes$) pasi që ${\vec {c}}\cdot {\vec {e}}=0$.         Tani bëjmë permutimin ciklik të vektorëve në prodhimin e përzier: $\left[{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\right]\cdot {\vec {e}}={\vec {a}}\cdot \left[{\vec {(}}b\times {\vec {c}})\times {\vec {e}}\right]$. Meqenëse:         1°. $|({\vec {b}}\times {\vec {c}})\times {\vec {e}}|$ $=|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\sin({\vec {b}}\times {\vec {c}},{\vec {e}})=|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|=$ $=bc\sin({\vec {b}},{\vec {c}})$, sepse ${\vec {b}}\times {\vec {c}}\perp {\vec {e}}$; dhe         2°. $\sin({\vec {b}},{\vec {c}})=\sin \left[{\frac {\pi }{2}}-\sphericalangle ({\vec {e}},{\vec {b}})\right]=\cos({\vec {e}},{\vec {b}})$, prandaj kemi $({\vec {b}}\times {\vec {c}})\times {\vec {e}}$ $=\left[bc\sin({\vec {b}},{\vec {c}})\right]{\vec {c}}_{0}=\left[{\vec {b}}\cos({\vec {e}},{\vec {b}})\right]{\vec {c}}=$ $=({\vec {b}}\cdot {\vec {e}}){\vec {c}}$.         E zëvendsojmë këtë në relacionin ($\divideontimes$): $({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})({\vec {b}}\cdot {\vec {e}})=m({\vec {b}}\cdot {\vec {e}})\Rightarrow m={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$, ndërsa vlerën e përftuar të koeficientit skalar $m$ e zëvendësojmë në relacionin (30): ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}+n{\vec {c}}$.         Këtë relacion e shumëzojmë në mënyrë skalare me vektorin ${\vec {a}}$: $0=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})+n({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\Rightarrow n=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$, sepse $\left[{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\right]\cdot {\vec {a}}=0$.         Pra, konkludojmë se prodhimi i dyfishtë vektorial i tre vektorëve shprehet me formulën: ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}$, (...30a) ku ana e majtë rëndom paraqitet në formë të përcaktorit simbolik të rendit dytë: ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\begin{vmatrix}{\vec {b}}&{\vec {c}}\\{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\end{vmatrix}}$ (...30b)

< 1162 faqe - 1163 - 1164 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1162 faqe - 1163 - 1164 >