Hipi Zhdripi i Matematikës/1163

Koeficientet skalare $m$ dhe $n$ i përcaktojmë në këtë mënyrë:         Në planin e vektorëve $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ e marrim vektorin njësh $\overrightarrow{e}$ i tillë që $\overrightarrow{e}\perp \overrightarrow{c}$ (fig. 5.21.). Kur relacionin (30) e shumëzojmë në mënyrë skalare me yektorin njësh e marrim $[a\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})]\cdot \overrightarrow{e}=m(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e})$, ($\divideontimes$) pasi që $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{e}=0$.         Tani bëjmë permutimin ciklik të vektorëve në prodhimin e përzier: $[\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})]\cdot \overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}\cdot [\overrightarrow{(}b\times \overrightarrow{c})\times \overrightarrow{e}]$. Meqenëse:         1°. $|(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\times \overrightarrow{e}|$ $=|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}|\sin (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c},\overrightarrow{e})=|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}|=$ $=bc\sin (\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$, sepse $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{e}$; dhe         2°. $\sin (\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=\sin [\frac{\pi }{2}-\sphericalangle (\overrightarrow{e},\overrightarrow{b})]=\cos (\overrightarrow{e},\overrightarrow{b})$, prandaj kemi $(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\times \overrightarrow{e}$ $=[bc\sin (\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})]{\overrightarrow{c}}_0=[\overrightarrow{b}\cos (\overrightarrow{e},\overrightarrow{b})]\overrightarrow{c}=$ $=(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e})\overrightarrow{c}$.         E zëvendsojmë këtë në relacionin ($\divideontimes$): $(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e})=m(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e})\Rightarrow m=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$, ndërsa vlerën e përftuar të koeficientit skalar $m$ e zëvendësojmë në relacionin (30): $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$.         Këtë relacion e shumëzojmë në mënyrë skalare me vektorin $\overrightarrow{a}$: $0=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+n(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\Rightarrow n=-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$, sepse $[\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})]\cdot \overrightarrow{a}=0$.         Pra, konkludojmë se prodhimi i dyfishtë vektorial i tre vektorëve shprehet me formulën: $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}$, (...30a) ku ana e majtë rëndom paraqitet në formë të përcaktorit simbolik të rendit dytë: $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{b}& \overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\end{array}\right|$ (...30b)

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