Hipi Zhdripi i Matematikës/1267

Le të supozojmë tani se $\Delta x\rightarrow 0$ . Kjo implikon që edhe $\Delta y\rightarrow 0$ , gjë që pika $N$ gjithnjë e më tepër i afrohet pikës $M$ . Në këto rrethana sekanta $MN$ ndërron pozitën e saj duke u rrotulluar rreth pikës $M$ . Nëse ekziston drejtëza $MT$ , e cila paraqet pozitën kufitare të sekantes $MN$ , kur $N\rightarrow M$ nëpër grafikun e funksionit $y=f(x)$ , kjo drejtëz quhet tangjentja e grafikut të këtij funksioni në pikën $M$ . Koeficienti i drejtimit të kësaj tangjentje është: $\mathrm {tg} \ \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=f(x_{0})$ (34) Pra, konkludojmë: Nëse funksioni $y=f(x)$ është i derivueshëm në pikën $x_{0}$ , në këtë pikë ekziston tangjentja në grafikun (diagramin) e tij, ku vlera e derivatit është e barabartë me koeficientin e drejtimit të tangjentes. Në bazë të këtyre të dhënave del se ekuacioni i tangjentes dhe ekuacioni i normales (ortogonales) në grafikun e funksionit $y=f(x)$ në pikën $M(x_{0},f(x_{0}))$ - si ekuacione të drejtëzës nëpër një pikë - kanë trajtën: $y-f(x_{0})=f(x_{0})(x-x_{0})\!$ (35) dhe $y-f(x_{0})=-{\frac {1}{f(x_{0})}}(x-x_{0})$ . (36) Në anën tjetër, meqenëse shpejtësia e ndërrimit të funksionit $y=f(x)$ pasqyrohet edhe në këndin e tangjentes në grafikun e tij, derivati i funksionit shpreh edhe shpejtësinë e ndërrimit (rritjes, zvogëlimit) të funksionit. Pra, derivati i funksionit ka edhe domethënie kinetike. Vërtet, pasi që në lëvizjen e një pike materiale rruga $s$ është në funksion të kohës, d.m.th. $s=f(t)$ , shpejtësia mesatare shprehet me formulën: $v_{m}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}}$ . Vlera kufitare e këtij herësi, kur $\Delta t\rightarrow 0$ , quhet shpejtësi e çastit dhe shënohet: $v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}}=s(t)$ (37) Pra, konkludojmë: Shpejtësia e çastit në lëvizjen e një pike materiale është e barabartë me derivatin e rrugës për kohën. Në raste kur në pikën $a$ nuk ekziston limiti i raportit ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ , kur $\Delta x\rightarrow 0$ , thuhet se funksioni $y=f(x)$ nuk është i derivueshëm në këtë pikë. T e o r e m a 3.1.1. - Nëse funksioni $y=f(x)$ është i derivueshëm në pikën $a$ , ai është i vazhdueshëm në këtë pikë. V ë r t e t i m Nga hipoteza e teoremës kemi: $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}=f'(a)$