0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|18|20|22|

70

KAPITULLI I TRETË NUMRAT KOMPLEKSË 1. KUPTIMI DHE BARAZIA E NUMRAVE KOMPLEKSË Në kapitullin e mëparshëm (aksioma 4.1.) konstatuam se çdo pike $M$ të boshtit numerik $x' x$ i përgjigjet një dhe vetëm një numër real $\scriptstyle \in$ dhe anasjelltas. Po kështu edhe çdo pike $M$ të planit koordinativ $xOy$ i përgjigjet një dhe vetëm një dyshe e renditur $(x, y)$ të numrave realë $x$ dhe $y$ , të cilët quhen \| abshisa=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]] dhe \| ordinata=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]] e asaj pike. Për dyshe të këtilla të renditura të numrave realë përcaktohen rregullat e veprimeve aritmetikore në mënyrë të ngjashme sikurse për numrat realë, ku secila dyshe e renditur $(x, y)$ trajtohet si një numër më vete. Meqë numri i këtillë karakterizohet me dy elemente numerike $x$ dhe $y$ , quhet numër i përbërë ose numër kompleks. P ë r k u f i z i m i 1.1. - Numër kompleks quhet çdo dyshe e renditur $(x, y)$ të numrave realë $x$ dhe $y$ dhe shënohet $\scriptstyle {=}$ ^[1].[1] Numri $x$ quhet \| pjesa reale=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]] (ose \| komponenti i parë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]]), numri $y$ \| pjesa imagjinare=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]] (ose \| komponenti i dytë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]]) e numrit kompleks $\scriptstyle {=}$ dhe shënohet: $\scriptstyle {=}$ (...1). Bashkësia $\scriptstyle \mathbb {R}$ quhet \| bashkësi e numrave kompleksë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]] dhe zakonisht emërtohet me $\scriptstyle \mathbb {C}$ , pra: $\scriptstyle {=}$ , (...2) :ndërsa plani koordinativ $xOy$ rëndom quhet \| plani kompleks=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]] $C$ ose \| plani i Gatissit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]]^[2] ↑ 1) Me relacionin (5), përkatësisht (6) (fq. 75) përkufizohet mbledhja, përkatësisht shumëzimi i dy numrave kompleksë. ↑ 2) Sipas emrit të matematikanit të shquar dhe të talentuar gjerman \| Karl Fridriech Gauss=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}\|{{{1}}}]] (1777 - 1855).

< 6

faqe
- 7 -

8 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 6

faqe
- 7 -

8 >

71

72

73

74

Meqë secila dyshe e renditur $(x, y)$ e përcakton në mënyrë të vetme një pikë $M (x, y)$ në planin kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ dhe anasjelltas, andaj edhe për këto dy bashkësi vlen: A k s i o m a (e Cantorit) 1.1. - Çdo numri korrpteks $\scriptstyle {=}$ i përgjigjet një dhe vetëm një pikë $M (x, y)$ në planin kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ dhe anasjelltas, çdo pike $M (x, y)$ të planit kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ i përgjigjet një dhe vetëm një numër kompleks $\scriptstyle {=}$ . Në planin kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ pika $M (x, y)$ që korrespondon numrit kompleks $\scriptstyle {=}$ quhet figura e atij numri, ndërsa numri kompleks $\scriptstyle {=}$ quhet afiksi i pikës $M (x, y)$ . Mirëpo, meqë në planin koordinativ $xOy$ secilës pikë $M (x, y)$ mund t'i shoqërohet edhe nga një vektor i lirë $\scriptstyle {\overrightarrow {\text{OM}}}$ , konkludojmë se secilit numër kompleks $\scriptstyle {=}$ mund të shoqërohet nga një vektor i lire $\scriptstyle {\overrightarrow {\text{OM}}}$ (fig. 3.1.). Pikat e planit kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ që shtrihen në boshtin numerik $x' x$ shprehen me numrat kompleksë të formës $(x, 0)$ , meqë ordinatat e atyre pikave janë të barabarta me zero. Numra të këtillë kompleksë janë të barabartë me numrat realë $x$ , respektivisht $\scriptstyle {=}$ . Nga kjo del se $\scriptstyle {=}$ , ku numri $(1, 0)$ quhet njësi reale, ndërsa $\scriptstyle {=}$ . Pra, me futjen e numrave kompleksë $(x, y)$ në të vërtetë bëhet zgjerimi i kuptimit të numrit - numri realë trajtohet si rast i veçantë i numrit kompleks. Rrjedhimisht, sikundër që bashkësia e pikave të boshtit numerik $x'x$ është një nënbashkësi e bashkësisë së pikave të planit kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ , ashtu edhe bashkësia e numrave realë $\scriptstyle \mathbb {R}$ është një nënbashkësi e bashkësisë së numrave kompleksë $\scriptstyle \mathbb {C}$ , pra: $\scriptstyle \mathbb {R}$ (ose $\scriptstyle \mathbb {C}$ ). Numrat kompleksë të formës $(x, y)$ , ku $\scriptstyle {\neq }$ , , rektivisht numrat kompleksë që nuk janë numra realë, quhen numra imagjinarë. Ndërsa, pikat e planit kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ që shtrihen në boshtin $y' y$ i kanë abshisat të barabarta me zero. Ato pika shprehen me numra imagjinarë të formës $(0, y)$ . Numra të këtillë imagjinarë quhen numra thjesht imagjinarë. P ë r k u f i z i m i 1.2. - Numri thjesht imagjinar $(0, 1)$ quhet njësia imagjinare dhe shënohet me i[2], pra: $i (0, 1)$ . (...3) Në planin kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ boshti $x'x$ zakonisht quhet boshti real, ndërkaq boshti $y' y$ boshti imagjinar. P ë r k u f i z i m i 1.3. - Dy numra kompleksë $\scriptstyle {=}$ janë të barabartë nëse $\scriptstyle {=}$ dhe $\scriptstyle {=}$ [3], pra: $\scriptstyle {=}$ , (...4) Nga ky përkufizim del se numri kompleks $\scriptstyle {=}$ është i barabartë me zero, nëse $\scriptstyle {=}$ dhe $\scriptstyle {=}$ , pra: $\scriptstyle {=}$ . (...4a) P ë r k u f i z i m i 1.4. - Dy numra kompleksë $(x, y), (x, -y)$ të cilët ndryshojnë njëri prej tjetrit vetëm nga parashenja e pjesës imagjinare quhen numra kompleksë të konjuguar.[4]75 [redakto]76 [redakto]77 [redakto]78 [redakto]79 [redakto]

[1] 1) Me relacionin (5), përkatësisht (6) (fq. 75) përkufizohet mbledhja, përkatësisht shumëzimi i dy numrave kompleksë.

[2] 2) Sipas emrit të matematikanit të shquar dhe të talentuar gjerman | Karl Fridriech Gauss=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (1777 - 1855).

[1]

[2]