Hipi Zhdripi i Matematikës/1229

1.2. LIMITI I VARGUT, VARGJET KONVERGJENTE DHE DIVERGJENTE        Një ndër konceptet fundamentale të analizës matematike është koncepti i vlerës kufitare - i limitit. Të përkufizojmë këtu, së pari, \lim{n\to\infty}itin e vargut numerik.        P ë r k u f i z i m i  1.2.1. - Numri $a$ quhet limit i vargut $(a_{n})$ në qoft se për çdo numër pozitiv $\varepsilon >0$, sado i vogël qoftë $\varepsilon$, ekziston numri përkatës natyral $\mathbb {N} (=\mathbb {N} (\varepsilon ))$ i tillë që $(\forall n>\mathbb {N} )|a_{n}-a|<\varepsilon$. (4)[1]        Ky fakt simbolikisht shkruhet: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a\quad \mathrm {ose} \quad a_{n}\rightarrow a\quad \mathrm {kur} \quad n\rightarrow \infty$ dhe lexohet: limiti i $a_{n}$ kur $n$ shkon (tenton) në infinit është i barabartë me $a$, ose $a_{n}$ shkon në $a$ kur $n$ shkon në infinit.        P.sh.: $\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n-1}}=1$; $\lim _{n\to \infty }n^{-1}\!=\!0$; $\lim _{n\to \infty }n^{2}\!=\!\infty$, ndërsa $\lim _{n\to \infty }n^{(-1)^{n}}$ nuk ekziston.        Meqenëse me jobarazinë $|a_{n}-a|<\varepsilon$ përcaktohet e ashtuquajtura $\varepsilon$- rrethinë e pikës $a$ (kap. II, p. 4.2.), për $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ mund ta japim këtë domethënie gjeometrike:        Kur $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$, $\varepsilon$ - rrethinë e pikës $a$, sado i vogël qoftë numri $\varepsilon$, përmban pafund shumë kufiza të vargut $(a_{n})$.        P ë r k u f i z i m i  1.2.2. - Vargu $(a_{n})$ quhet varg konvergjent, nëse ekziston një numër real $a$ i tillë që $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$. Vargu që nuk është konvergjent quhet varg divergjent.[2] Fig. 7.1. Për shembull: -$\left({\frac {n+1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }$ është varg konvergjent, sepse $\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1$; -$(n^{2})_{n=1}^{\infty }=1$ është varg divergjent, sepse $\lim {n\to \infty }n^{2}=\infty$; dhe -$\left(n^{(-1)^{n}}\right)_{n=1}^{\infty }$ është varg divergjent, sepse nuk ekzistonlimiti i tij.        Për përkufizimin e vargut konvergjent $(a_{n})$, siç shihet, kërkohet ekzistenca e numrit $a$, i cili është i barabartë me vlerën kufitare të tij. Mirëpo, rëndom dëshirohet që konditat e konvergjencës së vargut $(a_{n})$ të shprehen me vetë

< 1228 faqe - 1229 - 1230 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1228 faqe - 1229 - 1230 >