Hipi Zhdripi i Matematikës/1162

S h e m b u l l i  21. -  Të vërtetohet se pikat $A(1,0,1)$, $B(4,4,6)$, $C(2,2,3)$, $D(10,14,17)$ janë komplanarë.        V ë r t e t i m Duhet vërtetuar se vektorët: ${\overrightarrow {AB}}(3,4,5)$, ${\overrightarrow {AC}}(l,2,2)$ dhe ${\overrightarrow {AD}}(9,14,16)$ janë komplanarë, pra $({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}})\cdot {\overrightarrow {AD}}={\begin{vmatrix}3&4&5\\1&2&2\\9&14&16\end{vmatrix}}=0$.        S h e m b u l l i  22. -  Të vërtetohet saktësia e formulës $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}+m{\vec {a}}+n{\vec {b}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$, ku $m$, $n$ janë çfarëdo dy skalarë.         V ë r t e t i m: Në shprehjen e anës së majtë të barazisë zbatojmë ligjin asociativ dhe distributiv për prodhimin e përzier $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}+m{\vec {a}}+n{\vec {b}})$ $=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}+({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot m{\vec {a}}+({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot n{\vec {b}}$ $=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}+m({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {a}}+n({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {b}}$ $=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$, sepse $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {a}}=0$ dhe $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {b}}=0$.         Pra, u vërtetua saktësia e formulës së paraqitur. 4.4. PRODHIMI I DYFISHTË VEKTORIAL I TRE VEKTORËVE        P ë r k u f i z i m i  4.4.1. - Prodhimi i dyfishtë vektorial i tre vektorëve ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$, ${\vec {c}}$ quhet prodhimi vektorial i vektorit ${\vec {a}}$ me vektorin ${\vec {b}}\times {\vec {c}}$ dhe shënohet ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$.         Në bazë të përkufizimit të prodhimit vektorial kemi këto relacione gjeometrike: ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\perp {\vec {b}}\times {\vec {c}},\ \ {\vec {b}}\perp {\vec {b}}\times {\vec {c}},\ \ {\vec {c}}\perp {\vec {b}}\times {\vec {c}}$ Fig. 5.21. çka don të thotë se vektorët ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$, ${\vec {b}}$, ${\vec {c}}$ janë normal në të njëjtin vektor ${\vec {b}}\times {\vec {c}}$. Nga kjo mund të konkludojmë se vektorët ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$, ${\vec {b}}$, ${\vec {c}}$ janë komplanarë. E dimë se tre vektorë komplanarë janë linearisht të varur, çka implikon se ekzistojnë dy skalarë $m$ dhe $n$ ashtu që vektori ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$ shprehet si kombinim linear i vektorëve ${\vec {b}}$ dhe ${\vec {c}}$: ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=m{\vec {b}}+n{\vec {c}}$. (...30)

< 1161 faqe - 1162 - 1163 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1161 faqe - 1162 - 1163 >