Hipi Zhdripi i Matematikës/1273

Pra, konkludojmë se formula (42) është e saktë.         P.sh.$\begin{array}{cc}{\left(\frac{x^2+3}{2x-1}\right)}^{\prime }& =\frac{(x^2+3{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}\\ & =\frac{2(x^2-x-3)}{(2x-1{)}^2}.\end{array}$         S h e n i m : Kur $u(x)=c(=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t})$, formula (42) merr këtë trajtë ${\left(\frac{c}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{c{v}^{\prime }}{v^2},c=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$. (42a) 3.3. DERIVATI I FUNKSIONIT TË PËRBËRË DHE I FUNKSIONIT INVERS         Le të jenë $y=f(u)$ dhe $u=g(x)$ dy funksione të derivueshme në pikën $u$, përkatësisht $x$, kurse $y=fg(x)$ një funksion i përbërë.        T e o r e m a  3.3.1. - Derivati i funksionit të përbërë $y=f[g(x)]$ është i barabartë me prodhimin e derivateve të funksioneve $y=f(u)$ (sipas argumentit ndërmjetës $u$) dhe $u=g(x)$ (sipas argumentit $x$), pra: ${\left\{f[g(x)]\right\}}^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ (43)        V ë r t e t i m Le të supozojmë se argumenti $x$ i funksionit të përbërë e merr shtesën $\mathrm{\Delta }x$. Kësaj shtese i korrespondon shtesa e argumentit ndërmjetës $\mathrm{\Delta }u=g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)$, ndërkaq, shtesës $\mathrm{\Delta }u$ i përgjigjet shtesa e funksionit $\mathrm{\Delta }y=f(u+\mathrm{\Delta }u)-f(u)$, ku $\mathrm{\Delta }u\to 0$ dhe $\mathrm{\Delta }y\to 0$ kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$.         Le të marrim tani se $\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }u}=f(u)$, prej nga, në bazë të teoremës 2.3.6., del : $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }u}=f^{\prime }(u)+\alpha$, (44) ku $\alpha \to 0$, kur $\mathrm{\Delta }u\to 0$. Kur këtë barazi e shumëzojmë me $\mathrm{\Delta }u$ dhe pastaj e pjesëtojmë me $\mathrm{\Delta }x$, del: $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(u)\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}+\alpha \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}$ vlera kufitare e të cilit, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, është: $\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(u)\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\alpha \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}=\\ & =f^{\prime }(u)\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\alpha \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}=\\ & =f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x),\end{array}$

< 1272 faqe - 1273 - 1274 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1272 faqe - 1273 - 1274 >