Hipi Zhdripi i Matematikës/1273

Pra, konkludojmë se formula (42) është e saktë.         P.sh.${\begin{aligned}\left({\frac {x^{2}+3}{2x-1}}\right)'&={\frac {(x^{2}+3)'(2x-1)-(x^{2}+3)(2x-1)'}{(2x-1)^{2}}}\\&={\frac {2(x^{2}-x-3)}{(2x-1)^{2}}}.\end{aligned}}$         S h e n i m : Kur $u(x)=c(=\mathrm {const} )$, formula (42) merr këtë trajtë $\left({\frac {c}{v}}\right)'=-{\frac {cv'}{v^{2}}},\quad c=\mathrm {const}$. (42a) 3.3. DERIVATI I FUNKSIONIT TË PËRBËRË DHE I FUNKSIONIT INVERS         Le të jenë $y=f(u)$ dhe $u=g(x)$ dy funksione të derivueshme në pikën $u$, përkatësisht $x$, kurse $y=fg(x)$ një funksion i përbërë.        T e o r e m a  3.3.1. - Derivati i funksionit të përbërë $y=f\left[g(x)\right]$ është i barabartë me prodhimin e derivateve të funksioneve $y=f(u)$ (sipas argumentit ndërmjetës $u$) dhe $u=g(x)$ (sipas argumentit $x$), pra: $\left\lbrace f\left[g(x)\right]\right\rbrace '=f'(u)\cdot u'(x)\ \mathrm {ose} \ {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$ (43)        V ë r t e t i m Le të supozojmë se argumenti $x$ i funksionit të përbërë e merr shtesën $\Delta x$. Kësaj shtese i korrespondon shtesa e argumentit ndërmjetës $\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$, ndërkaq, shtesës $\Delta u$ i përgjigjet shtesa e funksionit $\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)$, ku $\Delta u\rightarrow 0$ dhe $\Delta y\rightarrow 0$ kur $\Delta x\rightarrow 0$.         Le të marrim tani se $\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}=f(u)$, prej nga, në bazë të teoremës 2.3.6., del : ${\frac {\Delta y}{\Delta u}}=f'(u)+\alpha$, (44) ku $\alpha \rightarrow 0$, kur $\Delta u\rightarrow 0$. Kur këtë barazi e shumëzojmë me $\Delta u$ dhe pastaj e pjesëtojmë me $\Delta x$, del: ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(u){\frac {\Delta u}{\Delta x}}+\alpha {\frac {\Delta u}{\Delta x}}$ vlera kufitare e të cilit, kur $\Delta x\rightarrow 0$, është: ${\begin{aligned}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}&=\lim _{\Delta x\to 0}f'(u){\frac {\Delta u}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}\alpha {\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\\&=f'(u)\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}\alpha \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\\&=f'(u)\cdot u'(x),\end{aligned}}$

< 1272 faqe - 1273 - 1274 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1272 faqe - 1273 - 1274 >