Hipi Zhdripi i Matematikës/1038

P ë r k u f i z i m i  5.1.5. - Grupoidi (A, o) quhet semigrup (monogrup) nëse veprimi binar $\circ$ është asociativ.         P.sh. : ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ , + ), ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ , .), ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , + ), (A, .) ku A $\scriptstyle {=}$ { - 1, 1 - i, i}, i $\scriptstyle {=}$ $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ janë semigrupe.        P ë r k u f i z i m i  5.1.6. - Elementi e $\scriptstyle \in$ A quhet element neutral për veprimin $\circ$ në bashkësinë A, nëse vlen : $\scriptstyle {\forall }$ a $\scriptstyle \in$ A a $\circ$ e $\scriptstyle {=}$ e $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ a (...49)         Elementi neutral e quhet edhe element njësi. Në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {R}$ elementi neutral për mbledhjen është 0 (zero), ndërkaq për shumëzimin është 1 . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët $\scriptstyle {\varnothing }$ . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik f :x→x $\scriptstyle {=}$ x, $\scriptstyle {\forall }$ x $\scriptstyle \in$ A . Grupoidi ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ , +) nuk ka elementin neutral.        T e o r e m a  5.1.1. -  Nëse grupoidi (A, $\circ$ ) përmban elementin neutral, ai është i vetmi.        V ë r t e t i m Le të supozojmë të kundërtën - se në (A, $\circ$ ) ekzistojnë dy elemente neutrale e1 , e2 (el $\scriptstyle {\neq }$ e2 ) për veprimin binar $\circ$ . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari e me e1 , a me e2 dhe së dyti e me e2 , a me el përftojmë : e2 $\circ$ el $\scriptstyle {=}$ el $\circ$ e2 $\scriptstyle {=}$ el dhe el $\circ$ e2 $\scriptstyle {=}$ e2 $\circ$ el $\scriptstyle {=}$ el , prej kah rezulton se el $\scriptstyle {=}$ e2 . Pra, konkludojmë se grupoidi (A, $\circ$ ) nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin o .        P ë r k u f i z i m i  5.1.7. - Kur semigrupi (A, $\circ$ ) përmban elementin neutral e , elementi b $\scriptstyle \in$ A quhet element invers i elementit a $\scriptstyle \in$ A në lidhje me veprimin $\circ$ , nëse vlen : a $\circ$ b $\scriptstyle {=}$ b $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ e . (...50) P.sh.,         Elementi invers i elementit a rëndom shënohet me a-1 . P.sh., në semigrupin ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , +) me elementin neutral 0 , për cilindo element a $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ elementi invers është numri i kundërt (-a) $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , ndërkaq në semigrupin ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , .) , përveç elementeve -1 dhe 1 , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , .) me elementin neutral 1 , për cilindo element a $\scriptstyle \in$ Q , elementi invers është numri reciprok $\textstyle \mathrm {\frac {1}{a}}$$\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ .        T e o r e m a  5.1.2. -  Nëse semigrupi (A, $\circ$ ) për elementin a $\scriptstyle \in$ A përmban elementin invers a-1 $\scriptstyle \in$ A , ai është i vetmi.        V ë r t e t i m : Le të supozojmë të kundërtën - se b1 , b2 janë dy elemente inverse të elementit a $\scriptstyle \in$ A . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari b me b1 , së dyti b me b2 përftojmë : a $\circ$ b1 $\scriptstyle {=}$ b1 $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ e dhe a $\circ$ b2 $\scriptstyle {=}$ b2 $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ e . Meqë a $\circ$ b1 $\scriptstyle {=}$ e dhe veprimi $\circ$ është asociativ, kemi: b2 $\circ$ (a $\circ$ b1 ) $\scriptstyle {=}$ b2 dhe b2 $\circ$ (a $\circ$ b1 ) $\scriptstyle {=}$ (b2 $\circ$ a) $\circ$ b1 $\scriptstyle {=}$ e $\circ$ b1 $\scriptstyle {=}$ b1 d.m.th. se b1 $\scriptstyle {=}$ b2 , çka duhej vërtetuar.

< 1037 faqe - 1038 - 1039 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1037 faqe - 1038 - 1039 >