Hipi Zhdripi i Matematikës/1190

Kur në vend të vektorit ${\vec {a}}$ merret orti i tij ${\vec {a}}_{0}(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ , trajta vektoriale e ekuacionit të drejtëzës nëpër një pikë shënohet kështu ${\vec {r}}={\vec {r}}_{1}+\mu {\vec {a}}_{0}\ (\mu -\ {\text{skalar}})$ . (...26a) Kur vektorët ${\vec {r}},{\vec {r}}_{1},{\vec {a}}$ shprehen me koordinata, ekuacionit vektorial (26) u korrespondojnë këto tri ekuacione skalare $x=x_{1}+\lambda m,\ y=y_{1}+\lambda n,\ z=z_{1}+\lambda p$ (...27 që quhen forma parametrike e ekuacioneve të drejtëzës. Prej këtyre ekuacioneve, kur eliminohet parametri i $\lambda$ , ato shprehen në formën ${\frac {x-x_{1}}{m}}={\frac {y-y_{1}}{n}}={\frac {z-z_{1}}{p}}$ (...28) që quhen forma kanonike (ose simetrike) e ekuacioneve të drejtëzës. Forma parametrike e ekuacioneve të drejtëzës që i korrespondojnë ekuacionit vektorial (26a) shprehen me këto barazime $x=x_{1}+\mu \cos \alpha ,\ y=y_{1}+\mu \cos \beta ,\ z=z_{1}+\mu \cos \gamma$ . (...27a) Kur prej këtyre ekuacioneve eliminohet parametri $\mu$ përftohet ${\frac {x-x_{1}}{\cos \alpha }}={\frac {y-y_{1}}{\cos \beta }}={\frac {z-z_{1}}{\cos \gamma }}$ (...28a) që quhet forma normale e ekuacioneve të drejtëzës. Si forma kanonike (28) ashtu edhe forma normale (28a) janë, në të vërtetë, trajta skalare të ekuacioneve të drejtëzës nëpër një pikë, paralele me një vektor të dhënë. S h e m b u l l i 13. - Gjeni formën kanonike të ekuacioneve të drejtëzës e cila kalon nëpër pikën $P_{1}(1,3,-4)$ dhe është paralele me: (a) drejtëzën $\mathbf {d} :{\frac {x+2}{3}}={\frac {y-1}{2}}={\frac {z+3}{-1}}$ ; (b) vektorin ${\vec {a}}(1,-4,3)$ ; (c) boshtin koordinativ $0x$ ; (d) boshtin koordinativ $0y$ . Z g j i d h j e : Le të shënojmë me $\mathbf {d}$ , drejtëzën e kërkuar. (a) Nga kondita e paralelshtnërisë $(\mathbf {d_{1}} \\|\mathbf {d} )$ marrim: $m_{1}=3,\ n_{1}=2,\ p_{1}=-1$ . Duke shfrytëzuar edhe konditën se drejtëza e kërkuar $\mathbf {d} _{1}$ kalon nëpër pikë e dhënë $P_{1}$ , në bazë të formulës (28) marrim : ${\frac {x-1}{3}}={\frac {y-3}{2}}={\frac {z+4}{-1}}$ ; (b) Shfrytëzojmë konditat sikurse nën (a) dhe marrim: $\mathbf {d} _{1}:{\frac {x-1}{1}}={\frac {y-3}{-4}}={\frac {z+4}{3}}$ ; (c) Orti i boshtit koordinativ $0x$ është ${\vec {i}}$ d.m.th. ${\vec {i}}(1,0,0)$ , prandaj