- Nga (a) dhe (b) del saktësia e pohimeve të teoremës.
- S h e m b u l l i 3. - Të vërtetohet se mbledhja dhe shumëzimi i numrave natyralë janë veprime komutative.
- V ë r t e t i m (a) Baza e induksionit: Provojmë se janë të saktëta formulat a + b
 b + a dhe abba për b 1 dhe  a  , respektivisht se
a + 11 + a dhe a•11•a, a .
- Është e qartë se këto formula janë të sakta për a1. Vërtetojmë se ato janë të sakta për a', kur janë të sakta për a. Pra:
| a'+1
|
(a+l)+1;
(1+a)+1
1+(a+l)
1+a'
|
-
|
a'•1
|
(a+1)•1
a•1+1•1
1•a+1•1
1•(a+1)
1 • a'.
|
- (b) Hapi i induksionit: Vërtetojmë se janë të sakta formulat: a + b'b' + l dhe ab'b'a,
- kur janë të sakta formulat përkatëse a + bb + a dhe abba.
- Vërtet kemi:
| a+b'
|
a+(b+1);
(a+b)+1
(b + a)+1
b+(a+1)
b+(1+a)
(b+1)+a
b'+a
|
-
|
ab'
|
a(b+1)
ab+a
ba+a
(b+1)a
b'a
|
- Nga (a) dhe (b) del saktësia e pohimeve të teoremës.
- S h e m b u l l i 4. - Të vërtetohet se
(a, b)a a + b.
- V ë r t e t i m Së pari vërtetojmë se kjo formulë vlen për a1 dhe b .
- Vërtet, formula
11 + b ose 1b', b
- nuk mund të jetë e saktë, meqë është në kundërshtim me aksiomën 1.1., prandaj konkludojmë se 1 1 + b.
- Tani vërtetojmë se formula a' a' + b është e saktë, kur a a + b është e saktë.
- Vërtet, sikur të merrnim se është
a'a' + b respektivisht a'(a + b)'
- atëherë, në bazë të aksiomës 1.3., do të rrjedhte se a a + b, çka është në kundërshtim me supozimin se a a + b. Prandaj, përfundimisht konkludojmë se a'a' + b.
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
200+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
300+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
400+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
500+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
|
