Hipi Zhdripi i Matematikës/1058

Nga Wikibooks
       Nga (a) dhe (b) del saktësia e pohimeve të teoremës.
       S h e m b u l l i  3. -  Të vërtetohet se mbledhja dhe shumëzimi i numrave natyralë janë veprime komutative.
       V ë r t e t i m (a) Baza e induksionit: Provojmë se janë të saktëta formulat a + bb + a dhe abba për b 1 dhe a , respektivisht se
a + 11 + a dhe a•11•a, a .
       Është e qartë se këto formula janë të sakta për a1. Vërtetojmë se ato janë të sakta për a', kur janë të sakta për a. Pra:
a'+1 (a+l)+1;
(1+a)+1
1+(a+l)
1+a'
       
a'•1 (a+1)•1
a•1+1•1
1•a+1•1
1•(a+1)
1 • a'
.
       (b) Hapi i induksionit: Vërtetojmë se janë të sakta formulat:
a + b'b' + l dhe ab'b'a,
kur janë të sakta formulat përkatëse a + bb + a dhe abba.
       Vërtet kemi:
a+b' a+(b+1);
(a+b)+1
(b + a)+1
b+(a+1)
b+(1+a)
(b+1)+a
b'+a
       
ab' a(b+1)
ab+a
ba+a
(b+1)a
b'a
       Nga (a) dhe (b) del saktësia e pohimeve të teoremës.
       S h e m b u l l i  4. -  Të vërtetohet se
(a, b)aa + b.
       V ë r t e t i m Së pari vërtetojmë se kjo formulë vlen për a1 dhe b .
       Vërtet, formula
11 + b ose 1b', b
nuk mund të jetë e saktë, meqë është në kundërshtim me aksiomën 1.1., prandaj konkludojmë se 1 1 + b.
       Tani vërtetojmë se formula a' a' + b është e saktë, kur a a + b është e saktë.
       Vërtet, sikur të merrnim se është
a'a' + b respektivisht a'(a + b)'
atëherë, në bazë të aksiomës 1.3., do të rrjedhte se a a + b, çka është në kundërshtim me supozimin se a a + b. Prandaj, përfundimisht konkludojmë se a'a' + b.


< 1057
faqe
- 1058 -

1059 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1057
faqe
- 1058 -

1059 >