- Le të supozojmë se në planin kompleks
(fig. 3.6.) pikat M1, M2 janë figurat e numrave kompleksë z1 r1 (cos 1 + i sin 1), z2 r2 (cos 2 + +i sin 2). Mbi segmentin ( 1) ndërtojmë OPM![{\displaystyle \scriptstyle \thicksim }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20a07edf77e0adf51c443c8d8c8a852394b86a3) OM1M2. Nga ngjashmëria e këtyre trekëndëshave del:
-
|
(a) :![{\displaystyle \scriptstyle {\overline {\text{OP}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a91fff5d015115f204b0be1ae6df3768a0d4be) ![{\displaystyle \scriptstyle {=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0a664fb934fdecbb413b38ad8f5c7abf1932cc) : ose :1 r2:r1 ![{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5320e9341c58a8f7d0e74df1fb5234f97a19d3) ![{\displaystyle \scriptstyle {\overline {\text{OM}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157eb2200fcbad1f3b090c974ddcb5943bcb72aa) r2:r1
|
|
(b) POM![{\displaystyle \scriptstyle {=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0a664fb934fdecbb413b38ad8f5c7abf1932cc) M1OM2 ose POM![{\displaystyle \scriptstyle {=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0a664fb934fdecbb413b38ad8f5c7abf1932cc) POM2- POM1 POM
|
|
![{\displaystyle \scriptstyle {=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0a664fb934fdecbb413b38ad8f5c7abf1932cc) 2- 1.
|
Fig. 3.5. Fig. 3.6.
- Pra, afiksi i pikës M është numri kompleks z i cili plotëson kushtet (a) dhe (b), andaj themi se kjo pikë është figura e herësit të numrave kompleksë z2 dhe z1.
- Nga këto që thamë deri më tani lidhur me mbledhjen dhe shumëzimin numrave kompleksë rrjedh se (
, +, •) është fushë.
3.3. FUQIZIMI I NUMRIT KOMPLEKS DHE FORMULA E MOIVRIT
- Fuqia n e numrit kompleks z
r (cos +i sin ) përkufizohet sikurse edhe fuqia n e numrit real a. Rrjedhimisht nëse në formulën (6c) e marrim se faktorët zk janë të barabartë:
zk z r(cos +i sin ), k 1,2,...,n
- përftohet formula:
[r (cos + i sin )]n rn (cos n + i sin n ). (...28)
- Nga kjo formulë del kjo rregull praktike:
- Numri kompleks në forntën trigonometrike fuqizohet me numrin natyral n kur moduli i tij fuqizohet me n, kurse argumenti shuntëzohet me n.
- Kur në formulën e sipërme zëvendësohet r
1, përftohet:
(cos + i sin )n cos n + i sin n , (...29)
- cila quhet formula e Moivrit[1].
- ↑ 5) Sipas emrit të matematikanit të shquar anglez me origjinë franceze Abraham de Moiure (1667-1754).
|