Hipi Zhdripi i Matematikës/1150

${\vec {a}}(1,-1,3),{\vec {a}}_{2}(0,2,1),{\vec {a}}_{3}(-1,0,2)$ . Të zbërthehet vektori ${\vec {a}}$ në komponente kolineare me vektorët ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}$ . Z g j i d h j e : Këtu duhet të caktohen koeficientet skalare $m_{1},m_{2},m_{3}$ në mënyrë që: ${\vec {a}}=m_{1}{\vec {a}}_{1}+m_{2}{\vec {a}}_{2}+m_{3}{\vec {a}}_{3}$ , ose $2{\vec {i}}\!+\!5{\vec {j}}\!-\!7{\vec {k}}=(m_{1}\!-\!m_{3}){\vec {i}}\!+\!(2m_{2}\!-\!m_{1}){\vec {j}}\!+\!(3m_{1}\!+\!m_{2}\!+\!2m_{3}){\vec {k}}$ . Nga kjo barazi marrim këtë sistem ekuacionesh: ${\begin{array}{rcl}\ m_{1}-\ m_{3}&=&2\\-m_{1}+2m_{2}&=&5\\\ 3m_{1}+\ m_{2}&+&2m_{3}=-7\end{array}}$ zgjidhja e të cilit është $m_{1}=-1,m_{2}=2,m_{3}=-3$ . Pra kombinimi linear që shpreh zberthimin e vektorit ${\vec {a}}$ është: ${\vec {a}}=-{\vec {a}}_{1}+2{\vec {a}}_{2}-3{\vec {a}}_{3}$ . 4. VEPRIMET JOLINEARE ME VEKTORË 4.1. PRODHIMI SKALAR I DY VEKTORËVE P ë r k u f i z i m i 4.1.1. - Prodhimi skalar (ose i brendshëm) i dy vektorëve ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ quhet skalari i barabartë me prodhimin e moduleve të atyre dy vektorëve dhe të kosinusit të këndit ndërmjet tyre.^[1] Prodhimi skalar shënohet ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ ose $({\vec {a}}{\vec {b}})$ pra: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\|{\vec {a}}\|\|{\vec {b}}\|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})$ . (...20) $\cos({\vec {a}},{\vec {b}})={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{ab}}$ , (...21) d.m.th.: kosinusi i këndit ndërmjet dy vektorëve është i barabartë me herësin e prodhimit skalar dhe prodhimit të moduleve të tyre. Prodhimi skalar i çdo vektori me vetveten quhet katrori skalar dhe shënohet Projeksioni i vektorit ${\vec {a}}(={\overrightarrow {AB}})$ në boshtin ${\vec {e}}$ (fig. 5.9.) mund të shprehet me prodhimin skalar në këtë mënyrë: Nga ky relacion del ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\overrightarrow {a^{2}}}$ ose ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\overrightarrow {a^{2}}}$ . $pr._{\vec {e}}\ {\vec {a}}=\|{\vec {a}}\|\cos({\vec {a}},{\vec {e}})={\vec {a}}\cdot {\vec {e}}$ . (...22) ↑ 1) Nga ky përkufizim rezulton se prodhimi skalar i vektorëve përcakton një pasqyrim të bashkësisë së vektorëve ${\vec {V}}$ n bashkësinë e numrave realë $R$ .